Обчислення визначника матриці методом Гаусса

Розглядаючи розрахункові формули обчислення визначників матриці 2×2 та матриці 3×3 нами також було розглянуто, такзване, загальне правило обчислення визначників -о порядку. Проте, як видно з прикладу, навіть для матриць розмірність яких не перевищує чотири, дана схема являється довілі складною і вимагає великого обсягу обчислень. Проте, скориставшись відомим фактом, який говорить про те, що для обчислення визначників будь-якого порядку можна використовувати алгоритми точних методів, призначених для розв'язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь, процес рішення задач такого типу можна значно спростити. Наприклад, результати перетворень прямого ходу методу Гаусса зводять матрицю до такої форми, яка дає змогу легко обчислити її визначник (визначник трикутної матриці дорівнює добутку її діагональних елементів). Розглянувши деяку квадратну матрицю  розмірності  покажемо яким чином це реалізується.

Отже, згідно з алгоритмом методу Гаусса, для приведення матриці (1) до еквівалентної їй матриці трикутного вигляду, на першому етапі, замінимо другий, третій,..., -й рядки матриці , на рядки, які отримують в результаті додавання цих рядків до першого, помноженого на відповідно. Результатом виконання даного етапу буде матриця наступного вигляду:

де коефіцієнти з індексом один обчислюються за формулою .

На другому етапі, виключивши перший рядок та стовпець з розгляду, над матрицею (2) проводимо аналогічні дії. В результаті виконання другого етапу отримаємо матрицю вигляду:

де .

Продовжуючи обчислювальний процес далі, на -у етапі отримаємо матрицю трикутної форми:

Розрахункова формула для приведення матриці до вигляду (4) має наступний формат:

Далі, скориставшись записаним вище твердженням (визначник трикутної матриці дорівнює добутку діагональних елементів), обчислюємо детермінант матриці :

Обчислення визначника матриці методом Гаусса — приклад:

Для квадратної матриці , що міститься нижче, обчислити визначник методом Гаусса.

Для цього, на першому етапі, до другого, третього та четвертого рядків матриці  додамо перший помножений на , та відповідно. В результаті будемо мати:

Перейшовши до етапу номер два, в отриманій матриці зробимо рівними нулю елементи другого стовпця, які стоять нижче головної діагоналі, тобто елементи і . Для реалізації задуманого, до третього і четвертого рядків додаємо другий, помножену на і відповідно. В результаті отримаємо:

На останньому, третьому етапі зробимо рівним нулю елемент . Для цього, до четвертого рядка матриці що міститься вище, додамо третій, помножений на .

Далі, обчисливши визначник трикутної матриці, зноходимо рішення поставленої задачі:

Блок-схема алгоритму бчислення визначника матриці методом Гаусса

Визначник матриці методом Гаусса блок-схема

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:
Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар