Ранг матриці. Обчислення рангу матриці за методом обвідних мінорів та методу елементарних перетворень

Розглянемо матрицю Ранг матриці розмірності Ранг матриці. В даній матриці виділимо будь-яких Ранг матриці рядкуів і таку саму кількість стовпців. Відмітимо, що число Ранг матриці не повинно перевищувати загальну кількість рядків та стовпців заданої матриці, тобто Ранг матриці. Визначник, який утворится з елементів, що стоять на перетині виділених Ранг матриці рядків та стовпців називається мінором Ранг матриці-го порядку матриці Ранг матриці. Найбільший з порядків відмінних від нуля мінорів називається рангом матриці Ранг матриці. З даного означення випливають наступні властивості рангу:

  1. Ранг прямокутної матриці Ранг матриці розмірності Ранг матриці не перевищує меншого із двох чисел і Ранг матриці, тобто Ранг матриці.
  2. Ранг матриці Ранг матриці дорівнює нулю (Ранг матриці) тоді і тільки тоді, коли матриця нульова. В інших випадках ранг матриці рівний деякому додатному числу.
  3. Для квадратної матриці Ранг матриці-го порядку ранг дорівнює Ранг матриці тоді і тільки тоді, коли матриця невироджена, тобто коли її визначник відмінний від нуля.

Серед методів визначення рангу матриці виділяють два: метод обвідних мінорів і, такзваний, метод елементарних перетворень. Розглянемо спочатку алгоритм першого з них.

Отже, на першому кроці, знаходимо будь-який, відмінній від нуля, мінор першого порядку (). Якщо такого мінора немає, то матриця являється нульовою і, як зазначалося вище, ранг такої матриці рівний нулю. Якщо ж серед мінорів першого порядку існує хоча б один відмінний від нуля, то переходимо до дослідження мінорів другого порядку, які містять в собі rang_matrici10 (обводять rang_matrici10) і робимо це до тих пір, поки не знайдем мінор rang_matrici111 відмінний від нуля. Якщо такого мінора немає, то rang_matrici12. В іншому випадку, досліджуємо мінори третього, четвертого і так далі порядків і таким чином переходимо до обчислення, якщо вони існують, мінорів rang_matrici14-го порядку, які обводять мінор rang_matrici15. Якщо таких мінорів немає, або вони всі дорівнюють нулю, то Ранг матриці. Якщо ж хоча б один мінор rang_matrici16, то rang_matrici17, тобто ітераційний процес методу обвідних мінорів необхідно продовжувати далі.

Відмітимо, що такий підхід для знаходження рангу матриці не завжди зручний, тому що пов'язаний з обчисленнм значної кількості визнаників-мінорів. Простішим способом обчислення рангу являється алгоритм методу елементарних перетворень. Даний метод базується на твердженні, що ранг матриці не зміниться, якщо над нею виконати такзвані елементарні перетворення. Нагадаємо, що елементарними перетвореннями матриці називаються такі операції:

  1. перестановка місцями довільних два рядки або стовпці;
  2. множення кожного елемента довільного рядка чи стовпця на один і той самий відмінний від нуля множник;
  3. додавання до елементів довільного рядка чи стовпця відповідних елементів іншого рядка чи стовпця, помножених на одне і теж, відмінне від нуля, число;
  4. викреслювання рядка чи стовпця, який містить лише нульові елементи.

Тобто, суть даного методу полягає в тому, що з допомогою елементарних перетворень матриця Ранг матриці приводиться до східчастого вигляду, після чого підраховується число її ненульових рядкув. Дане число і буде рангом матриці Ранг матриці.

Знаходження рангу матриці використовуючи метод обвідних мінорів — приклад:

Знайти ранг матриці, що міститься нижче, використовуючи метод обвідних мінорів.

Оскільки для матриці Ранг матриці існують мінори першого порядку, відмінні від нуля, наприклад, , то її ранг може бути рівним одиниці. Обводячи його за допомогою другого рядка і пешого стовпця отримаємо мінор другого порядку rang_matrici111 також відмінний від нуля:

На наступному кроці, переходимо до мінорів третього порядку, що обводять rang_matrici111. В нашому випадку таких мінорів є усього шість штук.

Обчисливши їх бачимо, що всі вони виявилися такими, що дорівнюють нулю. Звідси приходимо до висновку, що ранг матриці Ранг матриці дорівнює двом.

Знаходження рангу матриці використовуючи метод елементарних перетворень — приклад:

Для розглядуваної в попередньому прикладі матриці Ранг матриці, знайти ранг, використовуючи метод елементарних перетворень.

Для цього, на першому кроці, поміняємо місцями перший та четвертий рядки заданої матриці. Після цього, елементи першого рядка розділимо на -2 та від другого та третього рядків віднімемо перший помножений на 2 та -4 відповідно. В результаті, матриця Ранг матриці прийме наступного вигляду:

На наступному кроці, елементи другого рядка розділимо на -3, після чого, від третього та четвертого рядків віднімемо другий помножений на 3 та -1 відповідно. В результаті отримаємо матрицю, два перших рядки якої містять відмінні від нуля елементи і два що залишились — являються нульовими.

Таким чином, використовуючи метод елементарних перетворень ми отримали аналогічний результат, тобто ранг заданої матриці дорівнює двом.

Блок-схема програмної реалізації методу обвідних мінорів:

Ранг матриці блок-схема

Блок-схема програмної реалізації методу елементарних перетворень:

Ранг матриці блок-схема

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар