Ранг матриці. Обчислення рангу матриці за методом обвідних мінорів та методу елементарних перетворень

Розглянемо матрицю Ранг матриці розмірності Ранг матриці. В даній матриці виділимо будь-які Ранг матриці рядкуів і таку саму кількість стовпців, де число Ранг матриці не повинно перевищувати загальну кількість рядків і стовпців заданої матриці, тобто Ранг матриці. Визначник, який утворится з елементів, що стоять на перетині виділених Ранг матрицірядків і стовпців називається мінором Ранг матриці-го порядку матриці Ранг матриці. Найбільший з порядків відмінних від нуля мінорів даної матриці називається її рангом. З даного означення випливає наступне:

  1. Ранг існує для будь-якої матриці Ранг матриці розмірності Ранг матриці, причому Ранг матриці.
  2. Ранг матриці тоді і тільки тоді, коли коли всі елементи матриці Ранг матриці рівні нулю.
  3. Для квадратної матриці Ранг матриці-го порядку ранг дорівнює Ранг матриці тоді і тільки тоді, коли матриця невироджена, тобто її визначник відмінний від нуля.

Серед алгоритмів для знаходження рангу матриці виділяють два: метод обвідних мінорів та метод елементарних перетворень. Перший з них полягає в наступному: на першому кроці, знаходимо будь-який мінор rang_matrici10 першого порядку (тобто елемент матриці) відмінний від нуля. Якщо такого мінора немає то матриця являється нульовою і ранг такої матриці, як було вище сказано рівний нулю. Якщо ж серед мінорів першого порядку існух хоча б один відмінний від нуля, то переходимо до обчислення мінорів другого порядку, які містять в собі rang_matrici10 (обводять rang_matrici10) до тих пір, поки не знайдем мінор rang_matrici111 відмінний від нуля. Якщо такого мінора немає, то rang_matrici12, якщо є, то rang_matrici13 і так далі продовжуючи даний процес, переходимо до обчислення мінорів rang_matrici14-го порядку, якщо вони існують, які обводять мінор rang_matrici15. Якщо таких мінорів немає, або вони всі дорівнюють нулю, то Ранг матриці, якщо хочаб один мінор rang_matrici16, то rang_matrici17 і так далі.

При знаходженні рангу матриці таким способом достатньо на кожному кроці знайти всього один ненульовий мінор rang_matrici14-го порядку, причому шукати його потрібно тільки серед мінорів, які обводять мінор rang_matrici15.

Проте, такий підхід для знаходження рангу матриці не завжди зручний, тому що пов'язаний з обчисленнм значної кількості визнаників-мінорів. Простішим способом обчислення рангу матриці являється алгоритм методу елементарних перетворень. Даний метод базується на твердженні, що ранг матриці не зміниться, якщо над нею виконати так звані елементарні перетворення (переставити місцями два рядки або стовпці; помножити кожен елемент рядка чи стовпця на один і той самий відмінний від нуля множник; додати до елементів рядка чи стовпця відповідні елементи другого рядка чи стовпця, помножені на одне і те саме число). Тобто, суть даного методу полягає в тому, що з допомогою елементарних перетворень приводимо матрицю Ранг матриці до східчастого вигляду, після чого підраховуємо число її ненульових рядкув. Дане число і буде рангом даної матриці.

Блок-схема програмної реалізації методу обвідних мінорів:

rang_matrici18

Блок-схема програмної реалізації методу елементарних перетворень:

Алгоритм знаходження рангу матриці

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар