Обчислення площі плоскої фігури

За геометричним тлумаченням визначного інтегралу, площа криволінійної трапеції, яка обмежена кривою Площа криволінійної фігури, лініями plosha_ploskoi_figyru2 і plosha_ploskoi_figyru3, та віссю plosha_ploskoi_figyru4, обчислюється за формулою plosha_ploskoi_figyru5.

Криволінійна трапеція

Криволінійна трапеція

Якщо плоска фігура обмежена лініями plosha_ploskoi_figyru7 і plosha_ploskoi_figyru8, то для обчислення площі такої фігури, на першому кроці, необхідно знайти точки перетину кривих plosha_ploskoi_figyru2  і plosha_ploskoi_figyru3. Ці точки є границями інтегрування.

Плоска фігура

Плоска фігура

Після цього, шукана площа плоскої фігури може бути знайдена як різниця між площами криволінійних трапецій, обмежених лініями plosha_ploskoi_figyru11 і plosha_ploskoi_figyru12, тобто:

plosha_ploskoi_figyru31

Знаходження площі плоскої фігури — приклад:

Обчислити площу фігури, обмежену лініями plosha_ploskoi_figyru27 та plosha_ploskoi_figyru28. Для цього, в першу чергу, скориставшись графічним методу, визначемо межі інтегрування. Нагадаємо, що графічний метод зводиться до побудови графіків обох функцій та візуального визначення точок, де вони перетинаються.

Визначення точок перетину кривих

Визначення точок перетину кривих

Отже, згідно побудованого графіка межі інтегрування рівні Площа плоскої фігури приклад і Площа плоскої фігури приклад. Далі, використовуючи будь-який з відомих чисельних методів обчислення визначених інтегралів, наприклад методом прямокутників, знаходимо площі криволінійних трапецій. Для цього, проміжок інтегрування розбиваємо на plosha_ploskoi_figyru22 рівних частин, після чого, на кожному відрізку задані функції замінюють на пряму лінію, паралельну до осі абсцис, і таким чином, значення визначених інтегралів замінюють на суму площ прямокутників, кожна з яких, може бути обчислена за флормулою plosha_ploskoi_figyru291.

Процес обчислення визначених інтегралів від функцій Площа плоскої фігури приклад та Площа плоскої фігури приклад на проміжку plosha_ploskoi_figyru24, міститься в наступній таблиці:

Обчислювальний процес методу прямокутників

Обчислювальний процес методу прямокутників

Далі, скориставшись формулою (2) знаходимо наближене значення площі плоскої фігури: plosha_ploskoi_figyru34.

Блок-схема алгоритму обчислення площі плоскої фігури:

plosha_ploskoi_figyru35

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар