Обчислення наближеного значення похідної функції в точці

Похідна — це математичне поняття, яке широко використовується при розв'язку багатьох задач з математики, фізики та інших наук. Зокрема на даному сайті, нами було розглянуто велике коло чисельних методів, які використовуючи поняття похідної, реалізують процес наближеного розв'язку нелінійних рівнянь та відшукання найбільшого чи найменшого значень функції на заданому проміжку (відмітимо, що з даної групи методів, найбільш відомим являється метод Ньютона, який за скінченне число ітерацій, знаходить наближені значення коренів нелінійного рівняння).

Похідна функції в деякій точці характеризує швидкість зміни функції в цій точці. Оцінку швидкості зміни можна отримати, обчисливши відношення зміни функції до відповідної зміни аргументу . У визначенні похідної таке відношення розглядається за умови, що . Перейдемо до більш детального аналізу даного поняття.

Для цього, розглянемо деяку функцію , неперервну в околі точки і нехай  — приріст аргументу в точці . Позначимо через або приріст функції, який дорівнює . Відзначимо тут, що функція неперервна в точці , якщо в цій точці нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції .

pohidna_funkcii41

Геометричний зміст похідної

Відношення , як видно з малюнка, що міститься вище, дорівнює тангенсу кута , який утворює січна кривої з додатнім напрямком горизонтальної осі координат.

Уявімо собі процес, в якому величина , необмежено зменшуючись збігаючись до нуля. При цьому точка рухатиметься уздовж кривої , наближаючись до точки , а січна буде обертатися біля точки так, що при дуже малих величинах її кут нахилу буде як завгодно близький до кута , який утворює дотична до кривої в точці . Слід зазначити, що все сказане відноситься до випадку, коли графік функції не має зламу або розриву в точці , тобто в цій точці можна провести дотичну до графіка функції.

Відношення або, що те ж саме , можна розглядати при заданому як функцію аргументу . Дана функція являється не визначеною в точці . Однак її границя в цій точці може існувати і в тому випадку, коли така границя існує, вона називається похідною функції в точці  і позначається  або :

Тобто, на основі вищесказаного можна зробити висновок, що , причому точність цієї наближеної рівності тим більша, чим менше значення приросту . Похідна є наближеним коефіцієнтом пропорційності між  і .

Відмітимо, що процес знаходження похідної функції називається диференціюванням і якщо для будь-якого числа з відкритого проміжку можна обчислити , то функція називається диференційовною на проміжку .

Похідна функції не існує в тих точках, в яких функція не є неперервною. У той же час функція може бути неперервною в точці , але не мати в цій точці похідної. Таку точку називають кутовою точкою графіка функції або точкою зламу. Так, наприклад, функція не має похідної в точці , хоча є неперервною в цій точці.

Похідна функції в точці

Графік функції y=|x|

Знаходження значення похідної функції в точці — приклад:

Обчисліть значення похідної функції в точці .

Відмітимо, що з класичної точки зору, для реалізації задуманого, нам довилося б, на першому кроці, знаходити похідну від складеної функції, що в свою чергу, в деяких випадках, є доволі трудоємким процесом, а вже потім, обчислювати її значення в заданій точці.

Проте, скориставшись вищевказаним означенням похідної, зробити це можна набагато простіше.

pohidna_funkcii43

Графічне представлення процесу знаходження наближеногл значення похідної заданої функції в точці x=0

Для цього, достатньо аргументу  надати довільного приросту, наприклад, , та обчислити значення функції в точках  та . В результаті отримаємо:

Далі, скориставшись формулою , знайдемо наближене значення похідної функції в точці :

Блок-схема алгоритму знаходження значення похідної функції в точці

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар