Обчислення елементів оберненої матриці за допомогою розв'язку відповідних систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Ми вже знаємо, що матриці можна додавти і множити. У цьому сенсі вони схожі на числа. Проте, числа можна ще й ділити. Виявляється, що у матричному численні існує операція, що відповідає операції ділення в арифметиці, яку пов'язують з поняттям оберненої матриці. Розглянемо дане поняття більш детально. Отже, всім відома проста залежність, яку можна представити у наступному вигляді:

Ця залежність означає, що добуток будь-якого числа на обернене йому число дорівнює одиниці. У матричній алгебрі існує аналогічний зв'язок. Якщо матриця квадратна і невироджена (матриця, визначник якої відмінний від нуля), то для неї існує матриця, що позначається символом і називається оберненою матрицею до матриці , для якої справедлива наступна рівність:

Тобто, матриця , в деякому сенсі, аналогічна оберненому числу в арифметиці, проте процес обчислення оберненої матриці дещо складніший. Опишемо один з можлививх варіантів даного процесу, який базується на тому, що матриця  є розв'язком матричного рівняння , де .

Для простоти викладу, запишемо шукану матрицю і одиничну матрицю  у вигляді сукупності векторів-стовпців:

Тоді матричне рівняння  замінимо еквівалентною системою, не пов'язаних між собою, векторно-матричних рівнянь наступного вигляду:

Розв'язавши кожну з цих систем будь-яким з відомих методів призначених для рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь, наприклад, методом Гаусса, отримаємо відповідний стовпець шуканої оберненої матриці. Зауважимо, що у даному випадку, усі системи з (3) мають одну і ту ж матрицю коефіцієнтів, що свідчить про те, що процес зведення матриці  до трикутної форми є спільним для кожної з них.

Знаходження елементів оберненої матриці — приклад:

Знайти обернену матрицю для квадратної матриці наступного вигляду:

Застосувавши для матриці розглянуту вище схему, отримаємо чотири системи лінійних алгебраїчних рівнянь з чотирма невідомими:

Знайдемо рішення кожної з них за методом Гаусса. В результаті будемо мати:

Отже, шукана обернена матриця має вигляд:

Блок-схема алгоритму знаходження елементів оберненої матриці