Обчислення довжини дуги кривої за допомогою визначеного інтеграла

Сьогодні розглянемо ще одну задачу, яка як і задача обчислення площі плоскої фігури та задача обчислення об'ємів тіл, відноститься до категорії найважливіших геометричних задач, що вирішуються методами інтегрального числення, а саме задачу знаходження довжини дуги кривої.

Для цього, припустимо, що в прямокутній системі координат задано неперервну криву , для якої необхідно знайти довжину дуги , яка розташована в інтервалі між  та .

Апроксимація елемента дуги кривої прямолінійним відрізком

Апроксимація елемента дуги кривої прямолінійним відрізком

Відмітимо, що розв'язок даної задачі почнемо поділом дуги  точками з абсцисами на частин. На наступному кроці поєднаємо дані точки відрізками , довжини яких позначимо через  відповідно. В результаті виконання даного кроку, ми отримали ламану лінію , вписану в дугу . Довжина даної ламаної складається з довжин відрізків , тобто:

Очевидно, що із зменшенням довжин відрізків ламаної , вона за своєю формою наближатиметься до дуги . Тому природно ввести наступне визначення: довжиною дуги називають границю, до якої прямує довжина вписаної в неї ламаної , при прямуванні її найбільшого відрізка до нуля, а числа відрізків :

Далі, визначемо спосіб обчислення довжини дуги. Для цього, розглянемо один з відрізків вписаної в неї ламаної, наприклад , та скориставшись формулою обрахунку відстані між двома точками на площині, знайдемо його довжину:

де . На наступному кроці, застосувавши до останньої рівності, формулу про скінченний приріст, а саме (де ), перепишемо її в наступному вигляді:

Підставляючи отриманий вираз в (2), отримаємо:

У правій частині рівності (5) міститься інтегральна сума для функції на відрізку . Границя такої суми існує і дорівнює визначеному інтегралу від цієї функції на відрізку :

Таким чином, якщо функція має на відрізку  неперервну похідну, то довжина дуги існує, причому скінченна, і обчислюється за формулою:

Знаходження довжини дуги кривої — приклад:

Знайти довжину дуги кривої , яка розташована в інтервалі між та .

Знаходження довжини дуги кривої y=x^2

Знаходження довжини дуги кривої y=x^2

Для цього, скористаємось формулою (7). Відмітимо, що до підстановки у формулу попередньо виконаємо деякі обчислення, а саме:

Блок-схема алгоритму знаходження довжини дуги кривої

Довжина дуги кривої алгоритм

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар