Наближений розв'язок системи лінійних рівнянь методом простої ітерації

При великому числі невідомих у системі лінійних рівнянь, схема методу Гауса, яка дає точний розв'язок, стає досить складною. У цих умовах, для розв'язку системи лінійних рівнянь, доцільніше використовувати наближені чисельні методи. Одним з таких методів є метод простої ітерації (метод послідовних наближень).

Нехай дано систему лінійних рівнянь виду:

Припускаючи, що діагональні коефіцієнти , розв'яжемо перше рівняння системи відносно , друге — відносно і так далі.

Тоді отримуємо систему, яка прийме наступного вигляд:

де при і  при .

Увівши матриці:

систему (2) можна записати у матричній формі . Систему (2') будемо розв'язувати методом послідовних наближень. За початкове (нульове) наближення приймемо стовпець вільних членів . Далі, послідовно будуємо матриці-стовпці (перше наближення), (друге наближення) і так далі.

Таким чином -ше наближення обчислюють за формулою .  Якщо послідовність наближень має границю , то ця межа є розв'язком системи (2).

Запишемо формули наближень у розгорнутому вигляді:

Метод послідовних наближень, визначений формулою (3) чи (3'), має назву методу простої ітерації. При використанні даного методу немає необхідності за нульове наближення брати стовпець вільних членів. Бо збіжність процесу ітерації залежить тільки від властивостей матриці , якщо цей процес збігається при виборі будь-якого початкового наближення, то він буде сходитись до того ж граничного вектора і при любому іншому виборі цього початкового наближення. Тому початковий вектор  в процесі ітерації може бути вибраний довільно.

Достатня умова збіжності процесу ітерації наступна: якщо для приведеної системи (2) виконується хоча б одна з умов:

або

то процес ітерації (3) збігається до єдиного розв'язку цієї системи, незалежно від початкового наближення.

Зауваження: ітераційний процес методу простої ітерації необхідно продовжувати до тих пір, поки не буде виконуватись умова , де  — задана точність обчислювального процесу.

Розв'язок системи лінійних рівнянь методом простої ітерації — приклад:

Викристовуючи розглянутий алгоритм методу простої ітерації, знайти розв'язок наступної системи лінійних алгебраїчних рівнянь з точністю :

На першому кроці, запишемо задану систему у зручному для ітерації вигляду. Для цього розв'яжемо перше рівняння системи відносно 312, друге — відносно 46 і так далі. В результаті отримаємо:

Далі, взявши за початкове наближення коренів систем значення та підставивши їх у систему отриману на попередньому кроці , знаходимо перші наближені значення для шуканих коренів:

Після цього, провіряємо критерій закінчення ітераційного процесу, тобто знаходимо максимальне значення модуля різниці відповідних елементів векторів та . В нашому випадку дане максимальне значення являється більшим від заданого значення  (), тому продовжуємо ітераційний процес далі.

На наступному кроці, підставимо отримані значення у систему (4), отримаємо друге наближення, для якого знову-таки провіряємо умову зупинки:

З отриманих значень бачимо, що для другого наближення умова зупинки також не виконується, тому продовжуючи даний процес далі, на восьмій ітерації отримуємо значення, які задовільняють умові зупинки і які приймаємо в якості значень для шуканих коренів заданої системи:

Блок-схема алгоритму методу простої ітерації:

Метод ітерації

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар