Навігація по сторінці.
При великому числі невідомих у системі лінійних рівнянь, схема методу Гауса, яка дає точний розв’язок, стає досить складною. У цих умовах, для розв’язку системи рівнянь, доцільніше використовувати наближені чисельні методи. Одним з таких є метод простої ітерації (також називають метод послідовних наближень).
Метод простої ітерації для систем лінійних рівнянь.
Нехай дано систему лінійних рівнянь виду:
Припускаючи, що діагональні коефіцієнти , розв’яжемо перше рівняння системи відносно , друге – відносно , третє рівняння – відносно і так далі.
В результаті, отримаємо систему наступного вигляд:
де , при і при .
Увівши матриці
систему (2) можна записати у матричній формі . Систему (3) будемо розв’язувати методом послідовних наближень.
За початкове (нульове) наближення приймемо стовпець вільних членів, тобто . Далі, послідовно будуємо матриці-стовпці (перше наближення), (друге наближення), (третє наближення) і так далі.
Таким чином, -ше наближення обчислюють за формулою . Зазначимо, що якщо послідовність наближень має границю , то ця межа є розв’язком системи (2).
Запишемо формули наближень у розгорнутому вигляді:
Обчислювальний процес, визначений формулою (3) чи (5), має назву метод простої ітерації.
Зауваження: ітераційний процес методу простої ітерації необхідно продовжувати до тих пір, поки не буде виконуватись умова , де – задана точність обчислювального процесу.
Умова збіжності методу простої ітерації.
При використанні даного методу немає необхідності за нульове наближення брати стовпець вільних членів. Збіжність процесу ітерації залежить тільки від властивостей матриці .
Якщо цей процес збігається при виборі будь-якого початкового наближення, то він буде сходитись до того ж граничного вектора і при будь-якому іншому виборі цього початкового наближення. Тому початковий вектор в процесі ітерації може бути вибраний довільно.
Достатня умова збіжності процесу ітерації наступна: якщо для приведеної системи (2) виконується хоча б одна з умов:
то ітераційний процес (3) збігається до єдиного розв’язку цієї системи, незалежно від початкового наближення.
Метод простої ітерації – приклад.
Приклад 1: розв’язати систему лінійних рівнянь методом простої ітерації з точністю :
На першому кроці, задану систему запишемо у зручному для ітерації вигляду. Для цього перше рівняння системи розв’яжемо відносно невідомої , друге – відносно , третє – відносно і так далі.
В результаті будемо мати:
Далі, взявши за початкове наближення коренів систем значення та підставивши їх у систему отриману на попередньому кроці , знаходимо перші наближені значення шуканих коренів:
Після цього, перевіряємо умову закінчення ітераційного процесу, тобто знаходимо максимальне значення модуля різниці відповідних елементів векторів та . Відмітимо, що в даному випадку дане максимальне значення являється більшим від заданого значення (), тому продовжуємо ітераційний процес далі.
На наступному кроці, підставимо отримані значення у систему виду (2) (система отримана на першому кроці методу), і, таким чином, знайдемо друге наближення. Для ланого наближення, знову-таки, перевіряємо умову зупинки:
З отриманих значень бачимо, що для другого наближення умова зупинки також не виконується, тому продовжуючи обчислювальний процес далі, на восьмій ітерації отримуємо значення, які задовольняють умову зупинки і які приймаємо в якості значень для шуканих коренів заданої системи:
Метод послідовних наближень – запитання для самоперевірки.
- Охарактеризуйте точні та наближені чисельні методи розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь.
- До якої групи відноситься метод простої ітерації?
- У чому полягає суть методу простої ітерації?
- Яка умова є критерієм досягнення заданої точності в методі послідовних наближень?
- Якою є умова збіжності методу простої ітерації.
Блок-схема не рабочая.
Доброго вечора Кирило. Виходячи з того, що по даній блок-схемі було реалізовано delphi-проект, що міститься за посиланням Використання методу простої ітерації при знаходженні розв’язку СЛАР, який працює безпомилково, то її можна вважати працездатною.