Наближене обчислення квадратних коренів

З уроків алгебри ми знаємо, що квадратним коренем із заданого числа називають таке число, квадрат якого дорівнює заданому числу. Наприклад, числа -5 і 5 є коренем з 25. Арифметичним квадратним коренем із заданого невід'ємного числа називають таке невід'ємне число, квадрат якого дорівнює заданому числу. Для нашого прикладу це буде число 5. Процес знаходження арифметичного квадратного кореня низивається визначенням або добуванням квадратного кореня.

Назва «корінь» і позначення кореня виникли ще в давнину. Так, в Індії його називали «мула» — корінь (дерева), початок, основа; араби — «джузр» — корінь, основа квадрата. В Європі використовували латинський аналог даного слова. Так з'явилася назва radix (по-латині «корінь»), звідси — радикал. Спочатку позначення кореня скоротили до , потім до букви . Вперше таке позначення використовував німецький математик Томас Рудольф. Далі буква  видозмінилася в знак . В подальшому, завдяки Рене Декарту, з'явився сучасний знак .

В математиці існує велика кількість методів для усного та письмового визначення квадратних коренів із чисела. Розглянемо декілька з них, і для початку зупинемося на способі що полягає у застосуванні таблиці квадратів двозначних чисел. Зазначимо, що з цим способом ми познайомилися ще на шкільних уроках математики. Спосіб дуже простий в застосуванні і дає миттєвий результат для квадратного кореня з будь-яких цілих чисел від 1 до 100 з точністю до десятих.

Таблиця квадратів цілих чисел від 0 до 99

При використанні таблиці квадратів для добування квадратного кореня потрібно не переплутати, що крайній лівий стовпчик визначає цифру, що стоїть в розряді цілих, а самий верхній рядок — це десяті у відповіді. А далі все просто: закрийте дві останні цифри числа у таблиці і знайдіть потрібне вам, що не переверщує 100, підкореневе число, і далі дійте за правилами цієї таблиці.

Якщо таблиця квадратів відсутня під рукою або з її допомогою виявилося неможливо знайти корінь, можна спробувати розкласти число, яке перебуває під коренем, на прості множники і добути корінь квадратний з отриманого добутку. Зазначимо, що більшість з тих хто навчається віддають перевагу саме такому способу і вважають його єдиним. Проте визначення кореня розкладанням на множники — досить трудомістка задача, яка теж не завжди приводить до бажаного результату. Спробуйте, до прикладу, добути квадратний корінь з числа 1260. Розклад на прості множники дає наступний результат . А як бути далі? Для більшості задач з геометрії і алгебри така відповідь буде зарахована в якості остаточної. Але якщо є необхідність обчислити наближені значення, можна скористатися методом, який буде розглянуто далі.

Наступний метод, на який слід звернути увагу, був відомий ще в Стародавній Греції і приписується Герону Олександрійському. Герон жив в столітті нашої ери і описав в своїх книгах закон відбиття світла, формулу обчислення площі трикутника за трьома сторонам, численні механізми та прилади. Цікаво, що і в наш час метод Герона використовується в деяких обчислювальних машинах. Розглянемо алгоритм даного методу більш детально. Для цього припустимо, що нам необхідно знайти корінь квадратний з деякого числа . Виходячи з того, що  не має раціонального кореня, то, згідно з алгоритмом, на першому кроці, визначаємо квадратний корінь з числа, найближчого до числа , з якого добувається ціле значення кореня. В результаті отримаємо число . На наступному кроці, розділимо задане підкореневе число  на . Отримаємо деяке число . Далі, знаходимо середнє арифметичне чисел  та , яке і приймаємо в якості наближеного значенням шуканого квадратного кореня.

Добування квадратного кореня — приклад 1:

Використовуючи таблицю квадратів, знайти корінь квадратний з числа 57.

Подумки відкидаємо дві останні цифри у комірках таблиці квадратів і знаходимо 57 або близьке до нього число. В результаті приходимо до висновку, що таким являється 5776. Лівий стовпчик дає відповідь 7 (це цілі), а верхній рядок 6 (це десяті). Значить .

Добування квадратного кореня — приклад 2:

Використовуючи спосіб розкладання на прості множники, визначити квадратний корінь з 225.

Для початку, розкладемо число під коренем на прості множники. В результаті, отримаємо: . Далі, скориставшись основною властивістю коренів, а саме , позбудемося коренів і квадратів, після чого, підрахуємо відповідь: .

Добування квадратного кореня — приклад 3:

Викорситовуючи метод Герона, знайти квадратний корінь з числа 1260.

Не важко переконатись, що найближчим числом до 1260, з якого добувається ціле значення кореня, є 1225. Отже, розділимо підкореневе число на . В результаті отримаємо: .

Далі, знаходимо середнє арифметичне чисел 35 та 36 і таким чином визначаємо наближене значенням квадратного кореня з числа 1260: .

Зауваження: якщо піднести число до квадрату, отримаємо . Тобто, похибка становить одиниці. Зазначимо, що при бажанні похибка може бути і меншою. До прикладу, проробивши процедуру методу Герона ще один раз, отримаємо достатньо точне значення кореня квадратного для заданого числа:

Блок-схема алгоритму добування квадратного кореня використовуючи метод Герона

Метод Герона блок-схема

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:
Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар