Модифікований метод Ейлера

Знову, розглянемо диференціальне рівняння виду:

Потрібно знайти наближений розв'язок даного диференціального рівняння на інтервалі [a,b], який задовільняє початковій умові . Для цього вибравши крок , розбиваємо інтервал на n частин:

Згідно з методом Ейлера, послідовні значення шуканого розв'язку обчислюються за наближеною формулою:

Проте, більш точний розв'язок можна отримати з допомогою вдосконалого методу Ейлера (вдосконалений метод ламаних), слідуючи якому, спочатку обчислюють проміжні значення:

і знаходять напрямок поля інтегральних кривих в середній точці , точто знаходять , після чого припускають, що

Блок-схема програмної реалізації вдосконаленого методу Ейлера:

Розглянемо також вдосконалений метод Ейлера-Коші, який є ще оною модифікацією методу Ейлера, при якому спочатку обчислюється «грубе наближення» розв'язку:

згідно з яким, знаходять напрямок поля інтегральних кривих:

Після чого наступне наближення обчислюють по формулі:

Блок-схема програмної реалізації методу Ейлера-Коші: