Мішаний добуток трьох векторів

Нехай дано три вектора , і . Вектор помножимо векторно на , векторний добуток помножимо скалярно на , в результаті отримуємо число, яке називають векторно-скалярним добутком або мішаним добутком з трьох векторів . Мішаний добуток позначається .

Векторно-скалярний добуток з трьох некомпланарних векторів дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на векторах , взятому зі знаком плюс, якщо трійка  — права і зі знаком мінус, коли ця трійка — ліва.

Ілюстрація до визначення мішаного добутку

Дійсно, . Тут  — площа паралелограма, побудованого на векторах  та  і  — висота паралелепіпеда. Таким чином, .

Якщо ж компланарні (лежать на одній або паралельних площинах), то .

Коли вектори  задані своїми координатами , то їх векторно-скалярний добуток обчислюють за формулою:

Розглянемо тепер деякі властивості мішаного добутку:

1. Мішаний добуток не змінюється при циклічній (круговій) перестановці множників, тобто .
2. Мішаний добуток змінює свій знак при перестановці будь-яких двох векторів-співмножників: .
3. Для векторно-скалярного добутку виконується властивість асоціативності щодо операції множення вектора на число: .
4. Для мішаного добутку виконується властивість дистрибутивности щодо операції додавання векторів: .

Зауваження: властивості 3 і 4 змішаного добутку сформульовані лише для першого співмножника. Однак, за допомогою циклічної перестановки можна довести аналогічні твердження для другого і для третього співмножників, тобто, вірними також являються і наступні рівності:

Мішаний добуток векторів — приклад:

З'ясувати, чи належать одній площині точки .

Припустимо, що точки належать одній площині. Тоді, обравши, наприклад, точку за спільний початок, три вектори також повинні належати цій площині. Отже, знайшовши координати векторів , перевіримо, чому дорівнює їх мішаний добуток:

Звідси, вектори  належать одній площині, а відповідно і точки  також належать одній площині.

Блок-схема алгоритму знаходження мішаного добутку трьох векторів