Мішаний добуток трьох векторів
Нехай дано три вектора ,
і
. Вектор
помножимо векторно на
, векторний добуток
помножимо скалярно на
, в результаті отримуємо число, яке називають векторно-скалярним добутком або мішаним добутком
з трьох векторів
. Мішаний добуток позначається
.
Векторно-скалярний добуток з трьох некомпланарних векторів дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на векторах
, взятому зі знаком плюс, якщо трійка
— права і зі знаком мінус, коли ця трійка — ліва.
Ілюстрація до визначення мішаного добутку
Дійсно, . Тут
— площа паралелограма, побудованого на векторах
та
і
— висота паралелепіпеда. Таким чином,
.
Якщо ж компланарні (лежать на одній або паралельних площинах), то
.
Коли вектори задані своїми координатами
, то їх векторно-скалярний добуток обчислюють за формулою:
Розглянемо тепер деякі властивості мішаного добутку:
- Мішаний добуток не змінюється при циклічній (круговій) перестановці множників, тобто
.
- Мішаний добуток змінює свій знак при перестановці будь-яких двох векторів-співмножників:
.
- Для векторно-скалярного добутку виконується властивість асоціативності щодо операції множення вектора на число:
.
- Для мішаного добутку виконується властивість дистрибутивности щодо операції додавання векторів:
.
Зауваження: властивості 3 і 4 змішаного добутку сформульовані лише для першого співмножника. Однак, за допомогою циклічної перестановки можна довести аналогічні твердження для другого і для третього співмножників, тобто, вірними також являються і наступні рівності:
Мішаний добуток векторів — приклад:
З'ясувати, чи належать одній площині точки .
Припустимо, що точки належать одній площині. Тоді, обравши, наприклад, точку
за спільний початок, три вектори
також повинні належати цій площині. Отже, знайшовши координати векторів
, перевіримо, чому дорівнює їх мішаний добуток:
Звідси, вектори належать одній площині, а відповідно і точки
також належать одній площині.