Нехай дано три вектора , і . Вектор помножимо векторно на , векторний добуток помножимо скалярно на , в результаті отримуємо число, яке називають векторно-скалярним добутком або мішаним добутком з трьох векторів . Мішаний добуток позначається .
Векторно-скалярний добуток з трьох некомпланарних векторів дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах , взятому зі знаком плюс, якщо трійка – права і зі знаком мінус, коли ця трійка – ліва.
Ілюстрація до визначення мішаного добутку
Дійсно, . Тут – площа паралелограма, побудованого на векторах та і – висота паралелепіпеда. Таким чином, .
Якщо ж компланарні (лежать на одній або паралельних площинах), то .
Коли вектори задані своїми координатами , то їх векторно-скалярний добуток обчислюють за формулою:
Розглянемо тепер деякі властивості мішаного добутку:
- Мішаний добуток не змінюється при циклічній (круговій) перестановці множників, тобто .
- Мішаний добуток змінює свій знак при перестановці будь-яких двох векторів-співмножників: .
- Для векторно-скалярного добутку виконується властивість асоціативності щодо операції множення вектора на число: .
- Для мішаного добутку виконується властивість дистрибутивности щодо операції додавання векторів: .
Зауваження: властивості 3 і 4 змішаного добутку сформульовані лише для першого співмножника. Однак, за допомогою циклічної перестановки можна довести аналогічні твердження для другого і для третього співмножників, тобто, вірними також являються і наступні рівності:
Мішаний добуток векторів – приклад:
З’ясувати, чи належать одній площині точки .
Припустимо, що точки належать одній площині. Тоді, обравши, наприклад, точку за спільний початок, три вектори також повинні належати цій площині. Отже, знайшовши координати векторів , перевіримо, чому дорівнює їх мішаний добуток:
Звідси, вектори належать одній площині, а відповідно і точки також належать одній площині.