Межі дійсних коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами

Наближене обчислення кореня, будь-якого алгебраїчного рівняння, як правило, розпадається на дві задачі: відокремлення коренів, тобто визначення інтервалів, в кожному з яких міститься тільки один корінь рівняння; уточнення коренів, тобто обчислення його з заданим степенем точності. Прте, перш ніж відокремлювати корені, природно визначити межі області, в якій розташовані всі корені рівняння.

Межі дійсних коренів многочлена

В даному параграфі розглянемо один із способів відшукання цих меж, для випадку, коли алгебраїчне рівняння являється многочленом -ї степені:

Покажемо, спочатку, що для рівняння такого виду, достатньо вміти знаходити лише верхню межу його додатних коренів. Отже, нехай  — верхня межа додатних коренів рівняння (1). Тоді, якщо числа  будуть верхіми межами додатних коренів многочленів відповідно, то буде нижньою межею додатних коренів многочлена (1), а числа і служать нижньою і верхньою межами від'ємних коренів многочлена  відповідно. Таким чином, всі додатні корені  задовольняють нерівність , а від'ємні — нерівність .

Для доведення даного твердження, припустимо, що  — додатний корінь рівняння (1). Тоді, число  буде додатним коренем рівняння і з нерівності випливає: . Аналогічним чином, якщо  — від'ємний корінь рівняння (1), то і додатні корені рівнянь і відповідно. Тому, і . Звідси, , що свідчить про те, що числа  і  являються, відповідно, нижньою та верхньою межами від'ємних коренів многочлена . Тобто, твердження доведене.

Далі, покажемо яким чином визначається  верхня межа додатних коренів рівняння (1). Для цього, припустимо, що всі коефіцієнти даного рівняння дійсні числа і . Позначивши через  максимальний по абсолютній величині від'ємний коефіцієнт рівняння (1), і нехай першим від'ємним коефіцієнтом в послідовності являється коефіцієнт . Тоді, всі додатні корені рівняння є меншими за число:

Зауваження: якщо рівняння (1) від'ємних коефіцієнтів немає, то воно і немає додатних коренів.

Для доведення даного твердження, замінимо додатні коефіцієнти нулями, а всі інші на . Тоді, при , будемо мати:

Звідси, при , виходячи з того, що:

отримаємо нерівність , а це і означає, що всі додатні корені менші за .

Межі дійсних коренів многочлена — приклад:

Використовуючи розглянуте вище твердження, знайти межі дійсних коренів для многочлена наступного вигляду: .

Графік функції, що описується заданим рівнянням

Для рішення поставленої задачі, на першому кроці, використовуючи формулу (2), обчислюємо верхню межу додатних коренів многочлена . В результаті отримаємо:

Після цього, побудувавши многочлени  та , для кожного з них, аналогічним чином, визначаємо верхню межу додатних коренів (числа   в теоретичному матеріалі, що міститься вище):

Далі, виходячи з того, що для многочленів  і  від'ємних коефіцієнтів не існує, приходимо до висновку, що для даних многочленів також не сінує і дотатних коренів. Звідси, рівняння від'ємних коренів не має, тобто, всі дійсні корені заданого рівняння задовольняють нерівність .

Блок-схема алгоритму знаходження меж дійсних коренів многочлена

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:
Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар