Метод Жордана-Гауса для Розв’язання Систем Лінійних Рівнянь: Від Теорії до Практики

Розв’язування систем лінійних рівнянь є однією з фундаментальних задач в математиці та чисельних методах, яка знаходить застосування в різних галузях науки і інженерії. Щоб досягти точних та ефективних результатів у вирішенні цих систем, часто звертаються до методів, які дозволяють спростити обчислення та зекономити час. Один із таких методів – це метод Жордана-Гауса, який є потужним інструментом для розв’язування систем лінійних рівнянь. У цій статті ми детально розглянемо цей метод, розкривши його теоретичні аспекти, послідовність дій та практичні приклади.

Як Працює Метод Жордана-Гауса: Основна Ідея Розв’язання Систем Рівнянь

Метод Жордана-Гауса (також відомий як метод повного виключення невідомих) – це розширена версія вже відомого методу виключень Гауса, яка вносить нові можливості у розв’язання систем лінійних рівнянь. Щоб краще зрозуміти, як працює цей метод, давайте детальніше розглянемо його основну ідею та переваги.

Основна ідея методу Жордана-Гауса

На основі того ж принципу, що і в класичному методі Гауса, метод Гауса-Жордана допомагає розв’язати системи лінійних рівнянь шляхом послідовного застосування елементарних перетворень над рядками матриці. Однак основна ідея цієї модифікації полягає в тому, що вона приводить початкову систему рівнянь до рівносильної системи з одиничною або діагональною матрицею.

Це досягається завдяки використанню тих самих трьох типів матричних операцій, які використовуються в класичному методі Гауса, а саме:

  • додавання одного рядка матриці до іншого;
  • множення рядка матриці на ненульову константу;
  • обмін двох рядків матриці місцями.

Перевага діагональної матриці

Однією з ключових переваг методу повного виключення невідомих є те, що після виконання всіх необхідних операцій квадратна матриця системи містить лише одиниці на головній діагоналі, а всі інші елементи стають нулями. Ця діагональна матриця легко розв’язується, оскільки вирази для невідомих змінних стаються дуже простими та легко обчислюваними.

Обмеження методу Жордана-Гауса

Важливо враховувати, що метод Жордана-Гауcа може мати свої обмеження. Одним з недоліків є те, що він може бути більш обчислювально витратним порівняно з класичним методом Гауса. Тому цей метод найкраще застосовувати в випадках, де обсяг системи рівнянь та кількість невідомих змінних є обмеженими. Використання методу виключень Гауса замість методу Жордана-Гауcа може спростити процес розв’язання лінійних рівнянь.

Отже, метод Жордана-Гауcа відкриває нові можливості для розв’язання систем лінійних рівнянь, проте його використання вимагає ретельного розгляду обмежень та обчислювальних витрат для кожного конкретного випадку.

Розв’язання Систем Рівнянь Методом Жордана-Гауса: Огляд Алгоритму

Щоб краще зрозуміти метод Жордана-Гауса та його використання для розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь, давайте розглянемо детальний алгоритм.

Підготовка системи лінійних рівнянь

Нехай маємо систему n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими:

система n лінійних рівнянь з n невідомими

Тут aij – це коефіцієнти при невідомій xj у i-му рівняння, і bi – вільний член відповідного рівняння. Для подальших обчислень систему рівнянь (1) запишемо у наступному вигляді:

розв'язання систем лінійних рівнянь методом жордана-гауса

Перетворення системи до діагонального вигляду

Після підготовки системи рівнянь переходимо до головного етапу, який називається прямим ходом. На цьому етапі ми перетворюємо систему до діагонального вигляду.

Обчислювальна схема даного етапу включає в себе n циклів, кожен з яких виконує виключення коефіцієнтів при невідомій xk в кожному рядку матриці, крім рядка під номером k. Ось послідовні кроки, які виконуються під час прямого ходу:

  1. Ділення на ведучий елемент: Ділимо k-й рядок матриці та відповідний елемент стовпця вільних членів на елемент akk. Даний процес описується наступною формулою:

розв'язання систем лінійних рівнянь методом жордана-гауса

  1. Виключення коефіцієнтів: Від рядка m матриці коефіцієнтів та вектора вільних членів віднімаємо k-й рядок, помножений на елемент amk. Цей крок дозволяє усунути всі інші коефіцієнти в цьому стовпці, залишаючи лише одиницю в рядку k:

розв'язання систем лінійних рівнянь методом жордана-гауса

Повторюючи цей процес n разів для кожної невідомої, отримуємо систему з діагональною матрицею коефіцієнтів:

розв'язування систем лінійних рівнянь методом жордана-гауса

Знаходження значень невідомих

Після завершення прямого ходу та отримання системи з діагональною матрицею коефіцієнтів, знаходження значень невідомих стає простою задачею. Кожна невідома xi обчислюється за формулою xi=bi(n).

Технічні Деталі: Матрично-векторний Метод Жордана-Гауса

Розглянемо ще один варіант методу Жордана-Гауса, відомий як матрично-векторний метод. Цей метод відрізняється від попереднього лише тим, що для приведення системи до вигляду (5) використовується формула (3) та сукупність матриці L(k) наступного вигляду:

метод жордана гауса

де dik(k)=-aik(k-1)/akk(k-1); i=1,…,n; k=1,…,n. Важливо відзначити, що ці матриці відрізняються від одиничної лише елементами, що містяться у k-му стовпці.

Зазначимо, що в такому випадку, процес приведення матриці до одиничної форми зводиться до обчислення послідовності добутків двох матриць:

метод жордана гауса

Даний процес починається з матриці A(0) (дорівнює вихідній матриці A, тобто A(0)=A), вектора b(0) (b(0)=b) і матриці L(1):

метод жордана гауса

де di1(1)=-ai1(0)/a11(0); i=2,…,n. В результаті виконання n циклів, також отримуємо систему з одиничною матрицею E і вектором вільних членів b(n), тобто систему виду (5).

Практичні Завдання та Розв’язання: Метод Жордана-Гауса

Приклад 1: Що таке метод Жордана-Гауса?

Метод Жордана-Гауса – це числовий алгоритм розв’язання систем лінійних рівнянь. Він використовує елементарні перетворення рядків матриці для приведення системи до діагональної форми, що дозволяє ефективно знайти розв’язок системи.

Приклад 2: Що таке елементарні перетворення матриці? У чому полягає їхня користь?

Елементарні перетворення матриці – це операції, які включають в себе обмін рядків місцями, множення рядку на константу та додавання одного рядка до іншого.

Ці операції використовуються в методі Жордана-Гауса для приведення матриці до діагонального вигляду, що спрощує розв’язання систем лінійних рівнянь. Елементарні перетворення дозволяють легко маніпулювати рядками матриці, щоб отримати систему з більш зручною структурою для обчислень.

Приклад 3: Чим метод Гауса-Жордана відрізняється від класичного методу Гауса?

Метод Гауса-Жордана є розширеною версією класичного методу Гауса, включаючи у себе введення додаткових етапів для приведення матриці до діагональної форми. Використання методу Жордана-Гауса дозволяє отримати систему лінійних рівнянь у вигляді одиничної матриці, що полегшує знаходження розв’язків.

У порівнянні з класичним методом Гауса, метод Жордана-Гауса може бути більш обчислювально складним, але він надає зручний спосіб для знаходження розв’язків систем лінійних рівнянь.

Приклад 4: Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь методом Жордана-Гауса

розв'язання систем лінійних рівнянь методом жордана-гауса
Для розв’язання даної системи методом Жордана-Гауса, спочатку, представимо її у наступному вигляді:

розв'язання систем лінійних рівнянь методом жордана-гауса

Виходячи з того, що елемент a11 дорівнює одиниці, то для того, щоб виключити з другого і третього рівнянь системи невідому x1, достатньо від цих рядків матриці коефіцієнтів та стовпця вільних членів відняти перший помножений на a21=3 і a31=5 відповідно. В результаті отримаємо:

розв'язання систем лінійних рівнянь методом жордана-гауса

Звертаємо увагу, що оскільки a41=0 виключення x1 з четвертого рівняння немає сенсу.

На наступному кроці, переходимо до виключення невідомої x2 з першого, третього і четвертого рівнянь системи. Для цього, виконуємо такі операції:

  1. Ділення на ведучий елемент: Елементи другого рядка матриці коефіцієнтів та стовпця вільних членів поділимо на a22=-14.
  2. Виключення коефіцієнтів: Від першого рядка віднімаємо другий помножений на a12=5; від третього віднімаємо другий помножене на a32=-32; від четвертого – другий помножене на a42=3.

Після цього, система матиме вигляд:

розв'язання систем лінійних рівнянь методом жордана-гауса

Далі, переходимо до виключення невідомої x3 з першого, другого та четвертого рівнянь системи:

  1. Ділення на ведучий елемент: Коефіцієнти третього рядка ділимо на a33=10.152.
  2. Виключення коефіцієнтів: Від елементів першого, другого і четвертого рядків матриці коефіцієнтів та стовпця вільних членів віднімаємо третій помножений на a13=-7.3, a23=0.786, a43=-7.358 відповідно.

В результаті отримаємо систему наступного виду:

розв'язання систем лінійних рівнянь методом жордана-гауса

І на останньому кроці, здійснимо виключення невідомої x4 з першого, другого та третього рівнянь системи. В даному випадку, маємо такий порядок дій:

  1. Ділення на ведучий елемент: Коефіцієнти четвертого рядка матриці та стовпця вільних членів розділимо на a44=6.404.
  2. Виключення коефіцієнтів: Від елементів першого, другого та третього рядків віднімаємо четвертий помножнний на a14=0.769, a24=-1.266, a34=0.521 відповідно.

Відмітимо, що в результаті виконання даного кроку отримаємо систему з одиничною матрицею,  з якої легко знаходимо значення елементів вектора невідомих (дорівнюють значенням елементів стовпця вільних членів):

розв'язання систем лінійних рівнянь методом жордана-гауса

Приклад 5: Розв’язати систему рівнянь з попереднього прикладу, використовуючи матрично-векторний метод Жордана-Гауса

розв'язання систем лінійних рівнянь методом жордана-гауса

Нагадаємо, що даний алгоритм також базується на процедурі приведення матриці коефіцієнтів до діагонального вигляду. Проте реалізується вона в дещо інший спосіб.

Для виключення невідомої x1 з другого третього та четвертого рівнянь системи, на першому кроці, скористаємось формулами (3) (з огляду на те, що в нашому випадку a11=1, ця операція є зайвою). Після цього, побудуємо матрицю L(1) та знайдемо добуток даної матриці з матрицею A(0)=A та вектором b(0)=b:

розв'язання систем лінійних рівнянь методом жордана-гауса

Для виключення невідомої x2 з першого, третього і четвертого рівнянь системи, розділимо другий рядок матриці коефіцієнтів A(1) та стовпця вільних членів b(1) на елемент a22(1)=-14 та побудуємо матрицю L(2). Далі, аналогічним чином, знайдемо добуток цієї матриці з матрицею A(1) та вектором b(1):

розв'язання систем лінійних рівнянь методом жордана-гауса

Для виключення невідомої x3 з першого, другого і четвертого рівнянь системи, розділимо третій рядок матриці A(2) та стовпця вільних членів b(2) на елемент a33(2)=10.152. На наступному кроці, побудуємо матрицю L(3) та знайдемо добуток даної матриці з матрицею A(2) та вектором b(2):

розв'язання систем лінійних рівнянь методом жордана-гауса

На останньому, четвертому кроці, здійснимо виключення невідомої x4 з першого, другого і третього рівнянь системи. Для цього, як у попередніх випадках, виконуємо наступні дії:

  • коефіцієнти четвертого рядка матриці та стовпця вільних членів ділимо на елемент a44(3)=4.439;
  • будуємо матрицю L(4);
  • знаходимо добуток матриці L(4) з матрицею A(3) та вектором b(3).

Результатом виконання даного кроку є систему з одиничною матрицею,  з якої легко знаходимо значення елементів вектора невідомих:

розв'язання систем лінійних рівнянь методом жордана-гауса

Дивіться Також

Вивчення методу Жордана-Гауса – це лише початок вашого шляху у світі лінійної алгебри та систем рівнянь. Для глибшого розуміння та розширення навичок рекомендуємо ознайомитися з наступними темами:

  1. Розв’язування систем лінійних рівнянь методом Крамера: Дізнайтеся, як можна використовувати визначник матриці для розв’язання системи лінійних рівнянь.
  2. Метод оберненої матриці для розв’язання систем лінійних рівнянь: Вивчіть метод, який використовує обернену матрицю для знаходження розв’язків систем лінійних рівнянь.
  3. Метод прогонки для розв’язання систем лінійних рівнянь із тридіагональною матрицею коефіцієнтів: Ознайомтесь із методом прогонки, який ефективно використовується для систем із тридіагональною матрицею коефіцієнтів.

Автоматизація Розв’язання: Блок-Схема Алгоритму Жордана-Гауса

розв'язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь методом жордана-гауса

Матрично-векторний Метод Жордана-Гауса

розв'язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь методом жордана-гауса

2 коментаря

  1. Дякую за вичерпну, і корисну інформацію. Автору плюс у карму однозначно)

  2. Гарна стаття, дуже мене врятувала !

Залишити коментар

Your email address will not be published. Required fields are marked *

*