Метод Жордана-Гаусса. Розв'язок систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гаусса

Метод Жордана-Гаусса являється однією з модифікацій методу Гаусса і знаходження розв'язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь з допомогою даного методу зводиться до перетворення вихідної системи до системи з одиничною або діагональною матрицею. Тобто основна відмінність між методом Гаусса і методом Жордана-Гаусса полягає в тому, що при реалізації останнього, елементи матриці обнулюються як під, так і над головною діагоналлю, а значення діагональних елементів стають рівними одиниці. В результаті даного перетворення елементи вектора вільних членів являтимуться шуканим розв'язком системи.

Розглянемо даний метод більш детально. Для цього запишемо систему лінійних рівнянь наступного вигляду:

метод Жордана-Гаусса

Обчислювальна схема методу Жордана-Гаусса складається з Метод Жордана-Гаусса циклів, в кожному з яких послідовно з допомогою Метод Жордана-Гаусса-го рядка виключаються елементи при невідомій Метод Жордана-Гаусса в кожному рядку матриці коефіцієнтів, крім Метод Жордана-Гаусса-го. Дана схема реалізується з допомогою наступних кроків:

  1. Виконуємо ділення Метод Жордана-Гаусса-го рядка матриці та стовпця вільних членів на елемент Метод Жордана-Гаусса. Даний крок описується з допомогою наступних формул:
  2. Метод Жордана-Гаусса

  3. На другому кроці, від Метод Жордана-Гаусса-го рядка матриці та Метод Жордана-Гаусса-го рядка стовпця вільних членів віднімаємо Метод Жордана-Гаусса-й помножений на елемент Метод Жордана-Гаусса:
  4. Метод Жордана-Гаусса

В результаті виконання Метод Жордана-Гаусса циклів отримаємо систему з одиничною матрицею коефіцієнтів:

Метод Жордана-Гаусса

З допомогою даної системи вектор невідомих легко знаходиться за наступною формулою:Метод Жордана-Гаусса.

Зауваження: необхідною і достатньою умовою при використанні методу Жордана-Гаусса являється відмінність від нуля всіх ведучих елементів матриці, тобто Метод Жордана-Гаусса.

Розглянемо ще один алгоритм методу Жордана-Гаусса (також відомий як матрично-векторний метод Жордана-Гаусса), який для приведення системи (1) до виду (4) використовує формулу (2) та сукупність матриць Метод Жордана-Гаусса наступного виду:

Метод Жордана-Гаусса

де (дані матриці відрізняються від одиничної лише елементами, які містяться в Метод Жордана-Гаусса-му стовпці). То процес приведення матриці до одиничної зводиться до обчислення послідовності добутків двох матриць:

Метод Жордана-Гаусса

Даний процес починається з матриці Метод Жордана-Гаусса, яка дорівнює вихідній матриці Метод Жордана-Гаусса, тобто Метод Жордана-Гаусса, вектора Метод Жордана-Гаусса, Метод Жордана-Гаусса і матриці Метод Жордана-Гаусса наступного виду:

Метод Жордана-Гаусса

де .

В результаті виконання Метод Жордана-Гаусса циклів, також отримуємо систему з одиничною матрицею Метод Жорданя-Гаусса і вектором вільних членів Метод Жордана-Гаусса, тобто систему виду (4).

Розв'язок системи лінійних рівнянь методом Жордана-Гаусcа — приклад:

Використовуючи розглянутий алгоритм методу Жордана-Гаусса, знайти розв'язок системи лінійних рівнянь наступного виду:

Для зручності запишемо дану систему у матрично-векторній формі:

Виходячи з того, що елемент дорівнює одиниці, то для того, щоб виключити з другого і третього рівнянь системи невідому , достатньо від цих рядків матриці коефіцієнтів та стовпця вільних членів відняти перший помножений на відповідно. В результаті отримаємо:

Зауваження: виходячи з того, що значення коефіцієнта  дорівнює нулю, то здійснювати виключення невідомої  з четвертого рівняння системи немає смислу.

На наступному кроці, переходимо до виключення невідомої з першого, третього і четвертого рівнянь системи. Для цього, елементи другого рядка матриці коефіцієнтів та стовпця вільних членів поділимо на , після чого, від першого рядка віднімаємо другий помножений на ; від  третього віднімаємо другий помножене на і від четвертого — другий помножене на (відмітимо, що аналогічні дії необхідно виконувати також і з рядками стовпця вільних членів). Після виконання даного кроку система набуде наступного вигляду:

Далі, переходимо до виключення невідомої з першого, другого та четвертого рівняння системи. Для цього, аналогічним чином, коефіцієнти третього рядка ділимо на і від елементів першого, другого і четвертого рядків матриці коефіцієнтів та стовпця вільних членів віднімаємо третій помножений на відповідно. В результаті отримаємо систему наступного виду:

І на останньому кроці, здійснимо виключення невідомої з першого, другого та третього рівнянь системи. Для цього, як у попередніх випадках, коефіцієнти четвертого рядка матриці та стовпця вільних членів розділимо на  і від елементів першого, другого та третього рядків віднімаємо четвертий помножнний на  відповідно. Відмітимо, що в результаті виконання даного кроку отримаємо систему з одиничною матрицею,  з якої легко знаходимо значення елементів вектора невідомих (дорівнюють значенням елементів стовпця вільних членів):

Розв'язок системи лінійних рівнянь матрично-векторним методом Жордана-Гаусса — приклад:

Використовуючи матрично-векторний метод Жордана-Гауссазнайти розв'язок системи рівнянь з попереднього прикладу:

Нагадаємо, що даний алгоритм методу Жордана-Гаусса також базується на процедурі приведення матриці коефіцієнтів до трикутного вигляду. Проте реалізується вона в дещу інший спосіб. Для виключення невідомої з другого третього та четвертого рівнянь системи, на першому кроці, скористаємось формулами (2) (виходячи з того, що в нашому випадку , дана операція немає сенсу), після чого, побудуємо матрицю Метод Жордана-Гаусса та знайдемо добуток даної матриці з матрицею Метод Жордана-Гаусса (Метод Жордана-Гаусса) та вектором Метод Жордана-Гаусса (Метод Жордана-Гаусса):

Для виключення невідомої з першого, третього і четвертого рівнянь системи, розділимо другий рядок матриці коефіцієнтів  та стовпця вільних членів  на елемент та побудуємо матрицю . Далі, аналогічним чином, знайдемо добуток даної матриці з матрицею та вектором :

Для виключення невідомої з першого, другого і четвертого рівнянь системи, скориставшись формулами (2), розділимо третій рядок матриці та стовпця вільних членів на елемент , після чого,  побудуємо матрицю та знайдемо добуток даної матриці з матрицею  та вектором :

На останньому, четвертому кроці, здійснимо виключення невідомої з першого, другог і третього рівнянь системи. Для цього, як у попередніх випадках, виконуємо наступні дії: коефіцієнти четвертого рядка матриці та стовпця вільних членів розділимо на елемент ; будуємо матрицю ;  знайдемо добуток даної матриці з матрицею та вектором . Результаті виконання даного кроку є систему з одиничною матрицею,  з якої легко знаходимо значення елементів вектора невідомих:

Блок-схема програмної реалізації методу Жордана-Гаусса для розв'яку системи лінійних рівнянь:

Блок-схема програмної реаліхації методу Жордана-Гаусса

Блок-схема програмної реалізації матрично-векторного методу Жордана-Гаусса для розв'яку системи лінійних рівнянь:

metod_gordana-gaussa30

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Коментарі

2 коментаря по темі “Метод Жордана-Гаусса. Розв'язок систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гаусса”
  1. Олексій пише:

    Дякую за вичерпну, і корисну інформацію. Автору плюс у карму однозначно)

  2. Олег пише:

    Гарна стаття, дуже мене врятувала !

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар