Метод відображень. Розв’язок систем лінійних рівнянь методом відображень

Алгоритм методу Хаусхолдера (також відомий як метод відображень) при знаходженні розв’язку системи лінійних рівнянь складається з -го кроку (де – розмірність матриці), після виконання яких матриця системи (1) приводиться до верхньої трикутної формі. Наступним етам алгоритму є відшукання значень вектора невідомих, які отримують аналогічно, як і у методі Гаусса, тобто спочатку знаходяться значення останньої компоненти вектора невідомих, потім передостанньої і так далі.

Розглянемо даний алгоритм більш детально. Нехай в результаті виконання -го кроку матриця коефіцієнтів  і вектор вільних членів системи (1) набули наступного вигляду:

Опишемо послідовність дій -го крок алгоритму методу відображень. Метою даного кроку є обнулення всіх піддіагональних елементів -го стовпця матриці . Для цього визначимо вектор нормалі , де

Після цього, запишемо матрицю відображень з елементами , де – символ Кронеккера.

Далі, елементи матриці та стовпця вільних членів обчислюються за наступними формулами: . Тобто в результаті виконання -го кроку, матриця коефіцієнтів та стовпець вільних членів системи (1), приймуть наступного вигляду:

де піддіагональні елементи -го стовпця матриці  дорівнюють нулю, а перших -н  рядків і стовпців збігаються, з відповідними рядками та стовпцями матриці . В результаті виконання -го кроку, матриця  набуде вигляду верхньої трикутної матриці:

Наступним етапом методу Хаусхолдера є визначення значень вектора невідомих, які, як уже було сказано вище, обчислюються аналогічно методу Гаусса за наступнимим формулами:

Розв’язок системи рівнянь використовуючи метод відображень – приклад:

Використовуючи метод Хаусхолдера, розв’язати сестему рівнянь наступного вигляду:

Отже, для початку, покладемо ,  і знайдемо ортогональну матрицю Хаусхолдера , таку що в матриці всі піддіагональні елементи першого стовпця дорівнювали б нулю. З цією метою компоненти вектора нормалі   визначимо, використовуючи елементи першого стовпця матриці :

В результаті отримаємо вектор . Далі, обчислюємо елементи відповідної цьому вектору матриці Хаусхолдера :

Далі, обчислюємо елементи матриці та стовпця вільних членів :

Таким чином, після виконання першого кроку, ми отримали матрицю в якій всі елементи першого стовпця, що містяться нижче головної діагоналі рівні нулю. На другому кроці, проробимо аналогічну процедуру, і таким чином обнулимо піддіагональні елементи  другого стовпця.

На останньому кроці виконуємо обнулення всіх піддіагональних елементів третього стовпця:

Таким чином, вихідна матриця коефіцієнтів приведена до верхнього трикутного вигляду, і на цьому перший етап методу відображень можна вважаи завершиним. Далі, переходимо до другого етапу, та скорисавшись формулами (8) знайдемо розв’язок заданої сисеми рівнянь:

Блок-схема алгоритму знаходження розв’язку системи лінійних рівнянь використовуючи метод відображень