Метод відображень. Розв'язок систем лінійних рівнянь методом відображень

Алгоритм методу відображень (Хуасхолдера) при знаходженні розв'язку системи лінійних рівнянь Метод відображення складається з Метод відображення-го кроку (де Метод відображення — розмірність матриці), після виконання яких матриця Метод відображення системи (1) приводиться до верхньої трикутної формі. Наступним етам алгоритму є відшукання значень вектора невідомих, які отримують аналогічно, як і у методі Гаусса, тобто спочатку знаходимо значення останньої компоненти вектора невідомих, потім передостанньої і так далі.

Розглянемо даний алгоритм більш детально. Нехай в результаті виконання Метод відображення-го кроку матриця коефіцієнтів Метод відображення і вектор вільних членів Метод відображення системи (1) набули наступного виду:

Метод відображення

Опишемо послідовність дій Метод відображення-го крок алгоритму методу відображень. Метою даного кроку є обнулення всіх піддіагональних елементів Метод відображення-го стовпця матриці Метод відображення. Для цього визначимо вектор нормалі Метод відображення, де

Метод відображення

Після чого запишемо матрицю відображень Метод відображення з елементами Матриця відображення, де Метод відображення - символ Кронеккера.

Далі, елементи матриці Метод відображення та стовпця вільних членів Метод відображення обчислюються за наступними формулами: Метод відображення. Тобто в результаті виконання Метод відображення-го кроку, матриця коефіцієнтів та стовпець вільних членів системи (1), приймуть наступного вигляду:

Метод відображення

де піддіагональні елементи Метод відображення-го стовпця матриці Метод відображення дорівнюють нулю, а перші Метод відображення-н  рядків і стовпців збігаються, з відповідними рядками і стовпцями матриці Метод відображення. В результаті виконання Метод відображення-го кроку, матриця Метод відображення набуде вигляду верхньої трикутної матриці:

Метод відображення

Наступним етапом методу Хуасхолдера є визначення значень вектора невідомих, які, як уже було сказано вище, обчислюються аналогічно методу Гаусса за наступнимим формулами:

Метод відображення

Розв'язок системи лінійних рівнянь методом відображень — приклад:

Використовуючи вище розглянутий метод Хуасхолдера, знайти розв'язок наступну систему лінійний алгебраїчних рівнянь:

Покладемо і знайдемо ортогональну матрицю Хаусхолдера , таку що в матриці всі піддіагональні елементи першого стовпця дорівнювали б нулю. З цією метою компоненти вектора нормалі   визначимо, використовуючи елементи першого стовпця матриці :

В результаті отримаємо вектор . Далі, обчислюємо елементи відповідної цьому вектору матриці Хаусхолдера :

І під кінець першого кроку обчислимо елементи матриці та стовпця вільних членів :

Таким чином, після виконання першого кроку, ми отримали матрицю в якій всі елементи першого стовпця, які містяться нижче головної діагоналі рівні нулю. На другому кроці, проробимо аналогічну процедуру, і таким чином обнулимо піддіагональні елементи  другого стовпця.

І на останньому кроці виконуємо обнулення всіх піддіагональних елементів третього стовпця:

Таким чином, вихідна матриця коефіцієнтів приведена до верхнього трикутного вигляду, і на цьому перший етап методу відображень можна вважаи завершиним. Далі, переходимо до другого етапу, та скорисавшись формулами (8) знайдемо шуканий розв'язок заданої сисеми:

Блок-схема програмної реалізації методу відображень:

Блок-схема методу відображення

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар