Метод Рунге-Кутта-Мерсона. Розв'язування звичайних диференціальних рівнянь методом Рунге-Кутта-Мерсона

Метод Рунге-Кутта-Мерсона, являється оденійєю з модифікацій методу Рунге-Кутта четвертого порядку точності і відрізняється від нього можливістю оцінювати похибку на кожному кроці і в залежності від цього приймати рішення про зміну кроку інтегрування і таким чином значно скоротити час розв'язку диференціального рівняння. Для того, щоб розглянути даний алгоритм більш детально запишемо диференціальне рівняння виду:

Метод Рунге-Кутта-Мерсона

з початковою умовою Метод Рунге-Кутта-Мерсона. Далі, задавши початковий крок інтегрування Метод Рунге-Кутта-Мерсона та точність Метод Рунге-Кутта-Мерсона, на кожному кроці обчислюємо коефіцієнти:

Метод Рунге-Кутта-Мерсона

після чого послідовні значення Метод Рунге-Кутта-Мерсона шуканої функції Метод Рунге-Кутта-Мерсона визначаються за наступною формулою:

metod_rynge-ketta-mersona16

Схема Мерсона, на відміну від методу Рунге-Кутта, на кожному кроці вимагає обчислення значення правої частину диференціального рівняння (1) в п'яти точках, за рахунок лише одного додаткового параметра Метод Рунге-Кутта-Мерсона. Також слід відмітити, що для автоматичного вибору кроку інтегрування, на кожному кроці, за формулою (4), визначають  похибку отриманого значення.

Метод Рунге-Кутта-Мерсона

Після чого, значення кроку визначають за насутпним критерієм:

  1. Якщо Метод Рунге-Кутта-Мерсона - необхідна точність не досягнута, для підвищення ефективності розрахунку слід крок Метод Рунге-Кутта-Мерсона зменшити в два рази, після чого обчислення значення metod_rynge-ketta-mersona18 згідно формули (3) повторюються з точки metod_rynge-ketta-mersona19.
  2. Якщо Метод Рунге-Кутта-Мерсона, то необхідна точність досягнута, але крок занадто малий, для підвищення ефективності розрахунку слід збільшити крок Метод Рунге-Кутта-Мерсона вдвічі.
  3. В іншрму випадку, крок обраний правильно і можна продовжувати розрахунки.

Зауваження: схема методу Рунге-Кутта-Мерсона, аналогічно класичному методу Рунге-Кутта, поширюється і для випадку систем диференціальних рівнянь.

Блок-схема програмної реалізації методу Рунге-Кутта-Мерсона:

Блок-схема методу Рунге-Кутта-Мерсона

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар