Метод простої ітерації для розв'язання одного нелінійного рівняння

Метод простої ітерації (також відомий як метод послідовних наближень) є одним з найбільш важливих способів чисельного розв'язання рівняня. Основна ідея даного методу полягає в тому, що ми замінюємо рівняння Метод ітераціїрівносильним йому рівнянням виду:

Метод ітерації

При цьому вважаємо, що Метод ітерації є неперервною на проміжку Метод ітерації.

Оберемо, довільним чином, наближене значення кореня Метод ітерації і підставимо його в праву частину рівняння (1) . Тоді отримаємо число:

Метод ітерації

Підставивши, тепер в праву частину рівняння (2) замість Метод ітераціїчисло metod_iteracii_nelin_rivn7, отримаємо нове число Метод ітерації і так далі продовжуємо даний процес. В результаті отримаємо послідовність чисел:

Метод ітерації

Якщо отримана послідовність збіжна, тобто існує Метод ітерації, то переходячи до границі в рівнянні (3) отримаємо:

Метод ітерації або Метод ітерації,

тобто границя Метод ітераціїє коренем рівняння (1) з довільним степенем точності.

Також, слід зазначити, що ітераційний процес збігається до єдиного кореня рівняння Метод ітерації, якщо на відрізку Метод ітерації, який містить корінь, виконується умова:

Метод ітерації, де Метод ітерації

і збіжність процесу ітерації буде тим швидшою, чим менше число Метод ітерації, яке задовольняє нерівність (4).

Якщо ж умова (4) не виконується, то потрібно рівняння Метод ітераціїперетворювати до рівняння виду (1), таким чином, щоб дана умова виконувалась. Цього можна досягнути, наприклад, шукаючи функцію Метод ітерації із наступного співвідношення:

metod_iteracii_nelin_rivn18

де Метод ітерацій обираємо так, щоб Метод ітерації.

Процес ітерації слід продовжувати до тих пір, поки не буде виконуватись умова:

Метод ітерації

де Метод ітерації— задана похибка обчислень.

Також давайте розглянемо більш загальний метод переходу від рівнянняМетод ітераціїдо рівняння виду (1). Для цього помножимо ліву і праву частини рівняння Метод ітерації на константу Метод ітерації і додамо до обох частин рівняння невідоме Метод ітерації, отримаємо:

Метод ітерації

Зауважимо, що при цьому шуканий корінь вхідного рівняння не зміниться. Тобто рівняння (5) еквівалентне рівнянню (1) з функцією Метод ітерації. Довільний вибір константи Метод ітерації дозволяє забезпечити умову збіжності (4). Оскільки в даному випадку Метод ітерації, то значення для Метод ітераціїслід вибирати таке, щоб біля кореня рівняння виконувалась умова Метод ітерації.

Блок-схема програмної реалізації методу ітерації:

Метод ітерації

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар