Якщо матриця системи є розрідженою, тобто містить велику кількість нульових елементів, то в такому випадку застосовують ще одну модифікацію методу Гаусса – метод прогонки.
Нехай дано систему лінійних рівнянь з тридіагональною матрицею:
Запишемо систему (1) у матрично-векторній формі , де
При цьому, як правило, всі елементи відмінні від нуля.
Хід роботи за методом прогонки складається з двох етапів – прямої прогонки та оберненої прогонки. Ідея прямої прогонки полягає в тому, що кожне невідоме виражається за допомогою прогоночних коефіцієнтів і :
З першого рівняння системи (1) знайдемо:
З іншої строни, використовуючи формулу (3) бачимо, що . Прирівнюючи коефіцієнти в обох виразах для отримаємо:
Підставимо в друге рівняння системи замість значення , отримаємо:
і звідси знаходимо :
або , де
Аналогічно можна знайти коефіцієнти для будь-якого :
Обернена прогонка полягає у послідовному обчисленні невідомих . Для цього спочатку, з останнього рівняння системи, знаходимо :
Підставимо в останній вираз замість значення отримаємо:
Далі, використовуючи формулу (1) і вирази для прогоночних коефіцієнтів (4) і (5), послідовно знаходимо всі невідомі .
Розв’язок системи рівнянь використовуючи метод прогонки – приклад:
Використовуючи метод прогонки, розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь наступного виду:
Для цього, на першому кроці, скориставшись прямим ходом методу прогонки (розрахункові формули (4), (5)), обчислюємо прогоночні коефіцієнти та :
Далі, використовуючи знайдені коефіцієнти, обчислюємо значення невідомих (обернена прогонка):
Дякую:)