Якщо матриця системи є розрідженою, тобто містить велику кількість нульових елементів, то в такому випадку застосовують ще одну модифікацію методу Гауссаметод прогонки.

Нехай дано систему лінійних рівнянь з тридіагональною матрицею:

Запишемо систему (1) у матрично-векторній формі metod_progonku3, де

При цьому, як правило, всі елементи metod_progonku2відмінні від нуля.

Хід роботи за методом прогонки складається з двох етапів – прямої прогонки та оберненої прогонки. Ідея прямої прогонки полягає в тому, що кожне невідоме metod_progonku5 виражається за допомогою прогоночних коефіцієнтів metod_progonku6 і metod_progonku7:

metod_progonku8

З першого рівняння системи (1)  знайдемо:

З іншої строни, використовуючи формулу (3) бачимо, що metod_progonku10.  Прирівнюючи коефіцієнти в обох виразах для metod_progonku111 отримаємо:

Підставимо в друге рівняння системи замість metod_progonku111 значення metod_progonku13, отримаємо:

і звідси знаходимо metod_progonku151:

або metod_progonku17, де

Аналогічно можна знайти коефіцієнти для будь-якого :

Обернена прогонка полягає у послідовному обчисленні невідомих metod_progonku20. Для цього спочатку, з останнього рівняння системи, знаходимо metod_progonku21:

Підставимо в останній вираз замість metod_progonku23 значення metod_progonku24 отримаємо:

Далі, використовуючи формулу (1) і вирази для прогоночних коефіцієнтів (4) і (5), послідовно знаходимо всі невідомі metod_progonku26.

Розв’язок системи рівнянь використовуючи метод прогонки – приклад:

Використовуючи метод прогонки, розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь наступного виду:

Для цього, на першому кроці, скориставшись прямим ходом методу прогонки (розрахункові формули (4)(5)), обчислюємо прогоночні коефіцієнти metod_progonku6 та metod_progonku7:

Далі, використовуючи знайдені коефіцієнти, обчислюємо значення невідомих metod_progonku5 (обернена прогонка):

Блок-схема алгоритму знаходження розв’язку системи лінійних рівнянь використовуючи метод прогонки

Метод прогонки блок-схема

One Reply to “Метод прогонки. Розв’язок систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом прогонки”

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

*