Метод прогонки. Розв'язок систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом прогонки

Якщо матриця системи є розрідженою, тобто містить велику кількість нульових елементів, то в такому випадку застосовують ще одну модифікацію методу Гаусса — метод прогонки.

Нехай дано систему лінійних рівнянь з тридіагональною матрицею виду:

Запишемо систему (1) у матрично-векторній формі metod_progonku3, де

При цьому, як правило, всі елементи metod_progonku2відмінні від нуля.

Хід роботи за методом прогонки складається з двох етапів — прямої прогонки і оберненої прогонки. Ідея прямої прогонки полягає в тому, що кожне невідоме metod_progonku5 виражається з допомогою прогоночних коефіцієнтів metod_progonku6 і metod_progonku7:

metod_progonku8

З першого рівняння системи (1)  знайдемо:

З іншої строни, використовуючи формулу (3) бачимо, що metod_progonku10.  Прирівнюючи коефіцієнти в обох виразах для metod_progonku111 отримаємо:

Підставимо в друге рівняння системи замість metod_progonku111 значення metod_progonku13, отримаємо:

і звідси знаходимо metod_progonku151:

або metod_progonku17, де

Аналогічно можна знайти коефіцієнти для будь-якого :

Обернена прогонка полягає у послідовному обчисленні невідомих metod_progonku20. Для цього спочатку, з останнього рівняння системи, знаходимо metod_progonku21:

Підставимо в останній вираз замість metod_progonku23 значення metod_progonku24 отримаємо:

Дальше, використовуючи формулу (1) і вирази для прогоночних коефіцієнтів (4),  (5), послідовно знаходимо всі невідомі metod_progonku26.

Розв'язок системи лінійних рівнянь методом прогонки — приклад:

Використовуючи метод прогонки, розв'язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь наступного виду:

Для цього, на першому кроці, скориставшись прямим ходом методу прогонки (розрахункові формули (4), (5)), обчислюємо прогоночні коефіцієнти metod_progonku6 та metod_progonku7:

Далі, використовуючи знайдені прогоночні коефіцієнти, знаходимо значення невідомих metod_progonku5 (обернена прогонка):

Блок-схема алгоритму знаходження розв'язку системи лінійних рівнянь методом прогонки:

Метод прогонки блок-схема

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Коментарі

2 коментаря по темі “Метод прогонки. Розв'язок систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом прогонки”
  1. Hater пише:

    В алгоритмі помилка.

    там. де підраховується Х[n]. В знаменнику робимо не — , а + bl[n].

  2. admin пише:

    Дякуємо за інформацію Hater. Виявлена Вами помилка була виправлена. Приносимо свої вибачення за те, що вона не була виявлена і усунута нами на стадії написання даного матеріалу.

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар