Метод окантування для знаходження оберненої матриці

У цьому параграфі розглянемо обчислювальну схему для знаходження оберненої матриці основану на ідеї окантування. Для цього, задану матрицю будемо розглядати як результат окантування матриці -го порядку, для якої вважається, що  обернена матриця являється відомою. Тобто:

Тут позначає згадуану вище матрицю-го порядку, а .

Тоді, матрицю також шукатимемо у вигляді окантованої матриці:

де – матриця порядку , – вектор-рядок, – вектор-стовпець і  – число, яке нам потрібно визначити. За правилом множення окантованих матриць маємо:

Звідси

З рівності (6) маємо . Підставляючи значення в (7), отримаємо .

Далі, з (4) маємо і тому, на підставі (5) і (8) будемо мати:

Звідси , і нарешті, .

Таким чином запишемо, остаточну формулу для знаходження оберненої матриці використовуючи метод окантування:

де .

Очевидно, що побудована формула є окремим випадком формул обертання матриці методом розбиття на клітини при і .

Виведена формула кладеться в основу відшукання оберненої матриці використовуючи метод послідовного окантування. Тобто, послідовно будуються обернені матриці для матриць:

кожна наступна з яких виходить з допомогою окантування попередньої. Кожен крок цього процесу здійснюється на підставі формули (10) та на практиці, зазвичай, оформляється у вигляді наступної схеми:

Знаходження оберненої матриці використовуючи метод окантування – приклад:

Використовуючи розглянутий алгоритм, для деякої невиродженої матриці  знайти обернену матрицю:

Для цього, згідно методу окантування, будуємо обернені матриці для матриць наступного виду:

Виходячи з того, що оберненою для першої матриці являється матриця , тобто , то відразу перейдемо до знаходження оберненої матриці, для матриці розмірності . Для цього, скориставшись обчислювальною схемою методу окантування, будуємо таблицю виду:

Далі, використовуючи значення таблиці та формулу (10), обчислемо елементи оберненої матриці :

На наступному кроці, переходимо до знаходження елементів матриці , обчислювальна схема якої прийме наступного вигляду:

Далі, на останньому, четвертому, кроці обчислюємо значення елементів матриці , і таким чином знаходимо шукану обернену матрицю :

Блок-схема алгоритму знаходження оберненеої матриці використовуючи метод окантування