Метод Ньютона для розв’язку системи двох нелінійних рівнянь

Розглянимо систему, яка складається з двох рівнянь, серед яких є хоча б одне нелінійне:

де та неперервні та диференційовні функції. Розв’язок даної системи будемо шукати використовуючи метод Ньютона. Для цього, припустимо, що нам вже відоме -е наближення для невідомих та . Більш точне наближення , згідно методу Ньютона, можна отримати наступним чином. Покладемо і підставимо дані значенняч у систему (1). В результаті отримаємо:

Далі, розклавши функції  та  в околі точки з координатами у ряд Тейлора, та обмежившись лише лінійними членами відносно та , будемо мати:

Система (4) являє собою систему рівнянь відносно невідомих приростів  та . Для зручності, перепишемо її у наступному вигляді:

Дану систему можна розв’язати будь-яким з відомих нам методів, наприклад методом Гаусса, чи Крамера (відносяться до точних чисельних методів). В нашому випадку доцільніше скористатись методом Крамера, виходячи з того, що розмірність матриці не є великою. Отже, ввівши позначення для функцій та для частинних похідних у точках , розв’язок системи (5) можна записати у наступному вигляді:

Далі, знайдені значення  і  підставляємо в формули (2) і отримуємо наступне -е наближення.

Таким чином, застосування методу Ньютона для знаходження розв’язку системи нелінійних рівнянь призводить до вирішення сукупності систем лінійних рівнянь виду (5). Однак для забезпечення збіжності методу Ньютона до шуканого рішення необхідно вдало вибрати початкове наближення, яке найчастіше визначають графічним способом.

Ітераційний процес знаходження розв’язку системи (1) за методом Ньютона є нескінченним. Тому для знаходження розв’язку з заданою точністю , як правило використовують наступну умову зупинки:

Блок-схема програмної реалізації методу Ньютона для розв’яку системи двох нелінійних рівнянь: