Метод Ньютона для розв'язку системи двох нелінійних рівнянь

Розглянимо систему, яка складається з двох рівнянь, серед яких є хоча б одне нелінійне:

Метод Ньютона

де Метод Ньютона та Метод Ньютона неперервні та диференційовні функції. Розв'язок даної системи будемо шукати використовуючи метод Ньютона. Для цього, припустимо, що нам вже відоме Метод Ньютона-е наближення Метод Ньютонадля невідомих Метод Ньютона та Метод Ньютона. Більш точне наближення Метод Ньютона, згідно методу Ньютона, можна отримати наступним чином. Покладемо Метод Ньютона і підставимо дані значенняч у систему (1). В результаті отримаємо:

Метод Ньютона

Далі, розклавши функції Метод Ньютона та Метод Ньютона в околі точки з координатами Метод Ньютона у ряд Тейлора, та обмежившись лише лінійними членами відносно Метод Ньютона та Метод Ньютона, будемо мати:

Метод Ньютона

Система (4) являє собою систему рівнянь відносно невідомих приростів Метод Ньютона та Метод Ньютона. Для зручності, перепишемо її у наступному вигляді:

Метод Ньютона

Дану систему можна розв'язати будь-яким з відомих нам методів, наприклад методом Гаусса, чи Крамера (відносяться до точних чисельних методів). В нашому випадку доцільніше скористатись методом Крамера, виходячи з того, що розмірність матриці не є великою. Отже, ввівши позначення для функцій Метод Ньютона та для частинних похідних у точках Метод Ньютона, розв'язок системи (5) можна записати у наступному вигляді:

Метод Ньютона

Далі, знайдені значення Метод Ньютона і Метод Ньютона підставляємо в формули (2) і отримуємо наступне Метод Ньютона-е наближення.

Таким чином, застосування методу Ньютона для знаходження розв'язку системи нелінійних рівнянь призводить до вирішення сукупності систем лінійних рівнянь виду (5). Однак для забезпечення збіжності методу Ньютона до шуканого рішення необхідно вдало вибрати початкове наближення, яке найчастіше визначають графічним способом.

Ітераційний процес знаходження розв'язку системи (1) за методом Ньютона є нескінченним. Тому для знаходження розв'язку з заданою точністю Метод Ньютона, як правило використовують наступну умову зупинки:

Метод Ньютона

Блок-схема програмної реалізації методу Ньютона для розв'яку системи двох нелінійних рівнянь:

metod_nytona_sust_nelin_rivn231

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар