Ідея методу LU факторизації, при знаходженні розв’язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь, базується на наступному твердженні: будь-яку квадратну дійсну матрицю (в даному випадку, це матриця коефіцієнтів при невідомих системи) можна розкласти на дві трикутні – верхньотрикутну унімотарну та нижньотрикутну матрицю і таким чином спростити задачу відшукання коренів.

Зауваження: верхньотрикутна унімотарна матриця – це квадратна матриця, в якій всі елементи нижче за головну діагональ дорівнюють нулю, а елементи на головній діагоналі дорівнюють одиниці; нижньотрикутна матриця – квадратна матриця, в якій всі елементи вище за головну діагональ дорівнюють нулю.

Розглянемо даний процес більш детально. Для цього, систему лінійних алгебраїчних рівнянь запишемо у матричній формі:

де квадратна матриця порядку і та – вектори стовбці. Згідно з сказаним вище, матрицю коефіцієнтів  представимо у вигляді добутку нижньотрикутної матриці і верхньотрикутної матриці з одиничною діагоналлю, тобто , де

Тоді, рівняння (1) можна записати у наступному вигляді .

Ввівши у розгляд змінну , рівняння (3) перепишемо наступним чином . Звідси, шуканий вектор  може бути знайдений із ланцюга рівнянь , які виходячи з того, що матриці  та  – трикутні, легко розв’язуються за наступними формулами:

Після того, як основна ідея методу LU розкладу відома, розглянемо, яким чином обчислюються елементи матриць  та . Для цього, врахувавши рівність (2), послідовно перемножимо рядки матриці  на стовпці матриці . В результаті отримаємо систему, яка складається з рівнянь та  невідомих і :

Розв’язавши дану систему, отримаємо розрахункові формули для знаходження елементів трикутних матриць:

Розв’язок системи рівнянь використовуючи метод LU розкладу – приклад:

Використовуючи методом LU розкладу знайти розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь наступного вигляду:

Для цього, скориставшись формулами (3), (4) обчислюємо елементи матриць  і . В результаті будемо мати:

Далі, використовуючи формули (7), знаходимо рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь виду :

Після цього, за формулами (8), отримаємо розв’язок системи рівнянь , який і приймаємо в якості рішення заданої системи:

Блок-схема алгоритму знаходження розв’язку системи лінійних рівнянь використовуючи метод LU факторизації

Метод LU-факторизації блок-схема

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

*