Ідея методу LU факторизації, при знаходженні розв’язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь, базується на наступному твердженні: будь-яку квадратну дійсну матрицю (в даному випадку, це матриця коефіцієнтів при невідомих системи) можна розкласти на дві трикутні – верхньотрикутну унімотарну та нижньотрикутну матрицю і таким чином спростити задачу відшукання коренів.
Зауваження: верхньотрикутна унімотарна матриця – це квадратна матриця, в якій всі елементи нижче за головну діагональ дорівнюють нулю, а елементи на головній діагоналі дорівнюють одиниці; нижньотрикутна матриця – квадратна матриця, в якій всі елементи вище за головну діагональ дорівнюють нулю.
Розглянемо даний процес більш детально. Для цього, систему лінійних алгебраїчних рівнянь запишемо у матричній формі:
де 
квадратна матриця порядку 
і 
та 
– вектори стовбці. Згідно з сказаним вище, матрицю коефіцієнтів 
представимо у вигляді добутку нижньотрикутної матриці 
і верхньотрикутної матриці 
з одиничною діагоналлю, тобто 
, де
Тоді, рівняння (1) можна записати у наступному вигляді 
.
Ввівши у розгляд змінну 
, рівняння (3) перепишемо наступним чином 
. Звідси, шуканий вектор може бути знайдений із ланцюга рівнянь 
, які виходячи з того, що матриці та – трикутні, легко розв’язуються за наступними формулами:
Після того, як основна ідея методу LU розкладу відома, розглянемо, яким чином обчислюються елементи матриць та . Для цього, врахувавши рівність (2), послідовно перемножимо рядки матриці на стовпці матриці . В результаті отримаємо систему, яка складається з 
рівнянь та невідомих 
і 
:
Розв’язавши дану систему, отримаємо розрахункові формули для знаходження елементів трикутних матриць:
Розв’язок системи рівнянь використовуючи метод LU розкладу – приклад:
Використовуючи методом LU розкладу знайти розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь наступного вигляду:
Для цього, скориставшись формулами (3), (4) обчислюємо елементи матриць і . В результаті будемо мати:
Далі, використовуючи формули (7), знаходимо рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь виду :
Після цього, за формулами (8), отримаємо розв’язок системи рівнянь 
, який і приймаємо в якості рішення заданої системи:
Блок-схема алгоритму знаходження розв’язку системи лінійних рівнянь використовуючи метод LU факторизації
