Метод Лобачевського знаходження коренів алгебраїчних рівнянь з дійсними різними по абсолютній величині коренями

Основною перевагою методу Лобачевського є те, що він не вимагає інформацію про початкові наближення шуканих коренів. Він добре працює, якщо рівняння має тільки дійсні корені і не має коренів, які рівні або близькі по абсолютним величинам. Метод не є універсальним, оскільки є рівняння, для знаходження коренів яких він не застосовується і тому метод Лобачевського в основному застосовується для ручного підрахунку та знаходженні коренів з невеликою точністю.

Нехай дано рівняння виду Метод Лобачевського, про корені якого відомо, що всі вони дійсні і задовольняють умові Метод Лобачевського (де знак Метод Лобачевського означає набагато більше). Далі, скориставшись теоремою Вієта, запишемо флрмули, які описують зв’язок між коренями і коефіцієнтами рівняння (1):

Метод Лобачевського

З першого рівняння рівностей (3), винесемо за дужки невідому Метод Лобачевського. В результаті отримаємо:

Метод Лобачевського

Будемо вважати, що Метод Лобачевського настільки більше решти коренів за абсолютною величиною, що можна відкинути всі відношення, які містяться в дужках. Тоді Метод Лобачевського.

Аналогічним чоном, з другого рівняння рівності (3), винесемо за дужки Метод Лобачевського. Отримаємо:

Метод Лобачевського

Вважаючи, що відношеннями, які стоять в дужках, а саме Метод Лобачевського, можна знехтувати по відношенню з одиницею, формулу (5) перепишемо у наступному вигляді:

Метод Лобачевського або Метод Лобачевського

Продовжуючи ці міркування далі, отримаємо остаточну розрахункову формулу методу Лобачевського, з допомогою якої можемо знайти наближені значення всіх коренів рівняння (1):

Метод Лобачевського

Прте, слід зазначити, що такий підхід для знаходження коренів алгебраїчного рівняння можливий лише в тому вмпадку, коли виконується умова (2). Якщо ж дана умова не виконується, то в такому випадку, Лобачевським було запропоновано дещо інший підхід, який базується на такзваному процесі квадрування. Тобто, для початкового рівняння застосовується достатню кількість раз процес квадрування, в результаті чого, отримується нове рівняння, корені якого задовольняють умові (2). Таким чином, ми можемо знайти корені останнього рівняння, а потім і корені початкового рівняння.

Блок-схема програмної реалізації методу Лобачевського для випадку дійсних різних по абсолютній величині коренів:

Метод Лобачевського

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар