Метод Гаусса з вибором головного елемента

Нехай дана система лінійних рівнянь виду (1), для якої потрібно знайти чисельний розв'язок:

Метод Гаусса з вибором ведучого елемента

Розглянемо розширену прямокутну матрицю, що складається з коєфіціентов системи (1) та її вільних членів:

Метод Гаусса з вибором головного елемента

Для даної матриці, згідно алгоритму методу Гаусса з вибором головного елемента, виберемо ненульовий, як правило, найбільший за модулем елемент, який не належить стовпцю вільних членів, тобто Метод Гаусса з вибором головного елемента. Нехай це буде елемент Метод Гаусса з вибором головного елемента (даний елемент також називають головним елементом). Далі, для кожного рядка матриці (2), крім рядка під номером Метод Гаусса з вибором головного елемента, обчислюємо множники:

Метод Гаусса з вибором головного елемента

Рядок під номером Метод Гаусса з вибором головного елемента матриці Метод Гаусса з вибором Головного елемента, тобто рядок, який містить головний елемент, називається головним рядком. На наступному кроці виконуємо насутпні дії: до кожного неголовного рядка матриці додамо головний рядок помножений на відповідний для нього множник Метод Гаусса з вибором головного елемента:

Метод Гаусса з вибором головного елемента

В результаті отримаємо нову матрицю, Метод Гаусса з вибором головного елемента-та колонка якої складається з нульових елементів. Викреслюючи дану колонку іМетод Гаусса з вибором головного елемента-й (головний) рядок, отримаємо матрицю Метод Гаусса з вибором головного елемента, яка складається з меншого на одиницю числа рядків і стовпців.

Над матрицею Метод Гаусса з вибором головного елемента повторюємо тіж операції, після чого отримуємо деяку матрицю Метод Гаусса з вибором головного елемента, і так далі продовжуємо даний процес. Таким чином ми отримуємо послідовність матриць Метод Гаусса з вибором головного елемента, остання з яких є матрицею-рядком, яка складається з двох елементів. Відмітимо, що даний рядок також вважається головним.

Для визначення невідомих Метод Гаусса з вибором головного елемента, об'єднуємо в систему, починаючи з останнього, який входить в матрицю Метод Гаусса з вибором головного елемента, всі головні рядки. Далі провівши відповідну перестановку рядків, отримуємо систему з трикутною матрицею, з допомогою якої, знаходимо невідомі системи (1). Метод Гаусса з вибором головного елемента застосовується для систем, детермінант яких відмінний від нуля:

Метод Гаусса з вибором головного елемента

І на кінець зауважимо, що метод Гаусса, є окремим випадком методу головних елементів. Тобто в схемі методу Гаусса, за головний елемент завжди береться лівий верхній елемент відповідної матриці.

Розв'язок системи лінійних рівнянь методом Гаусcа з вибором головного елемента — приклад:

Використовуючи розглянутий алгоритм методу Гаусса з вибором головного елементазнайти розв'язок системи лінійних рівнянь наступного виду:

Для зручності запишемо задану систему у вигляді прямокутної матриці (2):

Далі, слідуючи алгоритму методу, на першому етапі, серед елементів матриці Метод Гаусса з вибором Головного елемента, вибираємо максимальний за модулем елемент, який не належить стовпцю вільних членів (головний елемент). В нашому випадку це буде елемент, який міститься в третьому рядку та четвертому стовпці (). Після цього, для кожного рядка матриці, крім третього, скориставшись формулою (3), обчислюємо множники Метод Гаусса з вибором головного елемента:

На наступному кроці до кожного неголовного рядка (в даному випадку це будуть рядки під номером один, два та три) матриці додамо головний рядок (третій рядок) помножений на відповідний для нього множник Метод Гаусса з вибором головного елемента. Даний процес описується формулою (4). В результаті отримаємо матрицю наступного виду:

Далі, викреслюючи четверту колонку і третій (головний) рядок, отримаємо матрицю Метод Гаусса з вибором головного елемента, яка складається з меншого на одиницю числа рядків і колонок:

Після цього переходимо до етапу номер два, і над отриманою матрицею Метод Гаусса з вибором головного елемента повторюємо тіж операції, а саме:

  1. Вибираємо головний елемент: .
  2. Для першого і другого рядка матриці обчислюємо множники Метод Гаусса з вибором головного елемента:
  3. До кожного неголовного рядка (в даному випадку це будуть рядки під номером один та два) матриці Метод Гаусса з вибором головного елемента додамо головний рядок (третій рядок) помножений на відповідний для нього множник Метод Гаусса з вибором головного елемента. Результатом виконання даного кроку буде матриця виду:
  4. Далі, викреслюючи третій стовпець і третій (головний) рядок, отримаємо матрицю , після чого, переходимо до третього етапу:

Етап номер три:

  1. Вибираємо головний елемент: .
  2. Для другого рядка матриці обчислюємо множник Метод Гаусса з вибором головного елемента:
  3. До кожного неголовного рядка (в даному випадку це буде рядок під номером два) матриці додамо головний рядок (перший рядок) помножений на відповідний для нього множник Метод Гаусса з вибором головного елемента. Результатом виконання даного кроку буде матриця виду:
  4. Далі, викреслюючи другий стовпець і перший (головний) рядок, отримаємо матрицю , яка складається з одного рядка і двох колонок:

На цьому процедуру приведення матриці до трикутного вигляду можна вважати завершеною. Переходимо до визначення невідомих Метод Гаусса з вибором головного елемента. Для цього, як уже зазначалося вище, об'єднуємо в систему, починаючи з останнього, який входить в матрицю , всі головні рядки. В результаті отримуємо систему з допомогою якої, легко знаходимо невідомі:

Зауваження: для отримання системи трикутної форми, за бажанням можна зробити відповідну перестановку рядків та колонок. Крім того відмітимо, що при перестановці стовпців змінюється порядок невідомих, тому в цьому випадку треба запам'ятати новий їх порядок. Для цього, як правило, формується масив з елементами, відповідними порядку невідомих. Спочатку там повинен бути забезпечений порядок невідомих, наприклад, як у нашому випадку від 1 до 4. Після цього, у міру перестановки стовпців, відповідні елементи даного масиву теж треба поміняти місцями.

Блок-схема програмної реалізації методу Гаусса з вибором головного елемента:

Метод Гаусса з вибором головного елемента

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар