Метод Гауса для Розв’язання Систем Лінійних Рівнянь: Повний Огляд

Метод Гауса (також відомий як метод послідовного виключення невідомих) є одним із фундаментальних та універсальних інструментів у сфері розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР). Цей метод є надзвичайно потужним і використовується в різних наукових та інженерних дисциплінах, де системи лінійних рівнянь зустрічаються на щоденній основі.

Правило Крамера і матричний метод, хоч і є корисними інструментами, мають свої обмеження. Вони стають неефективними у випадках, коли система має нескінченно багато рішень або є несумісною. На відміну від них, метод виключення Гауса завжди забезпечує результат, незалежно від особливостей системи.

У цій статті ми розкриємо метод Гауса і його використання для розв’язання різних систем лінійних рівнянь. Ви дізнаєтеся про його основні принципи та побачите приклади його застосування в реальних завданнях.

Метод Гауса: Розкриття Секретів Розв’язання Систем Лінійних Рівнянь

Метод Гауса є потужним інструментом для розв’язання систем лінійних рівнянь, і його процес складається з двох ключових етапів: прямого та оберненого ходу.

Прямий хід

На першому етапі, який називається “прямим ходом”, система лінійних рівнянь піддається елементарним перетворенням з метою зведення до рівносильної системи трикутної форми. Головна мета цього етапу – зробити так, щоб матриця системи стала верхньотрикутною, тобто всі елементи під головною діагоналлю матриці стали рівні нулю.

Елементарні перетворення включають в себе такі операції:

  • додавання одного рядка матриці до іншого;
  • множення рядка матриці на ненульову константу;
  • обмін двох рядків матриці місцями.

Ці операції виконуються, щоб позбавити систему від зайвих невідомих та спростити обчислення.

Обернений хід

Після того як система перетворена у трикутну форму, переходимо до другого етапу – оберненого ходу. На цьому етапі виконується знаходження значень невідомих з отриманої “ступінчастої” системи. Починаючи з останнього рядка та обчислюючи значення невідомих по черзі, ми знаходимо розв’язок системи.

Метод Гауса в Дії: Детальний Опис Алгоритму

Для кращого розуміння методу Гауса і його застосування в розв’язанні систем лінійних алгебраїчних рівнянь, розглянемо процес його використання більш детально.

Перетворення системи у трикутну форму

Почнемо з системи лінійних алгебраїчних рівнянь виду:

системи лінійних алгебраїчних рівнянь метод гауса

де aij – коефіцієнти при xj у i-му рівняння, bi – вільний член рівняння.

Припустимо, що коефіцієнт a11≠0 (цього завжди можна досягнути перестановкою рівнянь). Поділимо коефіцієнти першого рівняння системи на a11, отримаємо:

системи лінійних алгебраїчних рівнянь метод гауса

де c1j=a1j/a11 (для j>1); d1=b1/a11.

За допомогою рівняння (2) можна легко виключити невідому x1 з інших рівнянь системи (1). Це робиться шляхом віднімання від другого рівняння системи (1) рівняння (2), помноженого на a21; від третього рівняння системи (1) віднімається рівняння (2), помножене на a31, і так далі.

Таким чином, отримаємо систему трикутної форми:

системи лінійних алгебраїчних рівнянь метод гауса

Знаходження значень невідомих

Як вже зазначалося вище, другий етап полягає у знаходженні значень невідомих із системи, яку ми отримали на попередньому етапі. Цей етап називається оберненим ходом, оскільки спочатку, з останнього рівняння, знаходять значення xn:

розв'язок системи лінійних рівнянь методом гауса

На наступному кроці, величина xn підставляється у (n-1)-ше рівняння системи (3), і таким чином, знаходиться значення xn-1:

розв'язок системи лінійних рівнянь методом гауса

Далі, підставивши xn та xn-1 в (n-2)-ге рівняння системи (3), ми знаходимо xn-2. Продовжуючи цей процес далі, ми отримуємо розв’язок системи рівнянь (1).

Очевидно, що даний процес визначений однією формулою:

розв'язок системи лінійних рівнянь методом гауса

Важливі зауваження

  • якщо елементи будь-якого рядка матриці системи після перетворень стають рівними нулю, а права частина не дорівнює нулю, то система лінійних рівнянь є несумісною;
  • якщо елементи будь-якого рядка матриці системи та права частина після перетворень стають рівними нулю, то система рівнянь є сумісною, але має безліч рішень;
  • щоб знайти загальне рішення сумісної системи рівнянь, що має безліч рішень, потрібно в процесі оберненого ходу методу Гауса базисні змінні виразити через вільні змінні;
  • базисні змінні в ступінчастій системі – це перші змінні зліва з ненульовим коефіцієнтом або просто перші зліва, тому що змінні з нульовим коефіцієнтом у процесі елементарних перетворень були виключені. Вільні змінні – решта змінних.

Проблеми Розв’язування Систем Рівнянь Використовуючи Метод Гауса: Ділення на Нуль та їх Уникнення

Однією з основних проблем при використанні методу Гауса для розв’язання систем лінійних рівнянь є можливість ділення на нуль. Ця ситуація виникає, коли ведучий (головний) елемент матриці стає рівним нулю під час прямого ходу методу Гауса.

Наприклад, якщо a11 в системі рівнянь стає нулем, то ми не можемо поділити інші коефіцієнти a1j на нуль для знаходження проміжних коефіцієнтів c1j.

Як уникнути ділення на нуль

Для уникнення ділення на нуль існують спеціальні алгоритми та методи:

  1. Часткова перестановка: цей метод використовується для вибору ведучого елемента так, щоб уникнути нульових елементів на діагоналі матриці під час прямого ходу методу Гауса. На кожному кроці вибирається елемент з максимальним за модулем значенням у стовпці, який розташований нижче поточного елемента, і рядки матриці міняються місцями. Це дозволяє уникнути ділення на нуль при виконанні наступного кроку.
  2. Повна перестановка: у цьому методі на кожному кроці вибирається елемент з максимальним за модулем значенням в підматриці, яка розташована праворуч і нижче поточного елемента. Потім рядки та стовпці матриці міняються місцями, щоб зробити цей елемент діагональним. Це також допомагає уникнути ділення на нуль при виконанні наступного кроку.

Вибір методу перестановки

Вибір між частковою та повною перестановкою повинен залежати від конкретної ситуації та характеристик матриці. Повна перестановка може бути більш обчислювально витратною, але дозволяє уникнути ще більше проблем з діленням на нуль. В той час як часткова перестановка може бути більш ефективною у випадках, коли ризик ділення на нуль невеликий.

Використання методу Гауса для Розв’язання Практичних Задач: Приклади з Відповідями

Приклад 1: Які етапи включає в себе алгоритм методу Гауса для розв’язання систем лінійних рівнянь?

Алгоритм методу Гауса включає два ключових етапи: прямий хід та обернений хід. На прямому ході система перетворюється у трикутну форму, а на оберненому – знаходяться значення невідомих.

Приклад 2: Які елементарні перетворення використовуються у методі Гауса?

Елементарні перетворення у методі Гауса включають в себе додавання одного рядка матриці до іншого, множення рядка матриці на ненульову константу та обмін двох рядків матриці місцями.

Приклад 3: Як визначити, чи є система лінійних рівнянь сумісною за допомогою методу Гауса?

Якщо під час застосування методу Гауса елементи будь-якого рядка матриці системи стають рівними нулю, а права частина не дорівнює нулю, то система є несумісною. Якщо елементи рядка і права частина стають нулями, то система може мати безліч рішень.

Приклад 4: Розв’язати систему лінійних рівнянь методом Гауса

метод гауса приклад розв'язування

Перший крок методу Гауса – це прямий хід. На цьому етапі ми намагаємося перетворити початкову систему рівнянь на еквівалентну систему, в якій матриця коефіцієнтів стає верхньотрикутною. Основна мета – зробити всі елементи під головною діагоналлю рівними нулю.

Отже, починаючи з заданої системи, спростимо перше рівняння, поділивши обидві сторони на a11=2:

метод гауса приклад розв'язування

Далі віднімемо від другого рівняння перше, помножене на a21=4:

метод гауса приклад розв'язування

Зазначимо, що в результаті виконання даного кроку, останнє рівняння перетворилося на рівняння виду 0=0. Тобто задана система рівнянь є сумісною, але має безліч рішень. Знайдемо загальне рішення системи.

Отже, у нашому випадку, перша змінна x1 є базисною, а друга змінна x2 є вільною. Виразити x1 з першого рівняння: x1=2.5-1.5·x2. Такми чином, загальний розв’язок має наступний вигляд:

загальний розв'язок слар методом гауса

Надаючи змінній х2 довільні значення, ми можемо отримати будь-яке окреме рішення цієї системи.

Приклад 5: розв’язати систему лінійних рівнянь методом Гауса

метод гауса приклад розв'язування

Отже, аналогічно попередньому прикладу, починаючи з етапу номер один, ми намагаємося перетворити початкову систему рівнянь на еквівалентну систему, всі елементи під головною діагоналлю якої рівні нулю.

Виходячи з того, що елемент a11 дорівнює одиниці, то для того, щоб виключити з другого і третього рівнянь системи невідому x1, достатньо від цих рівнянь відняти перше помножене на a21=3 та a31=5 відповідно. В результаті матимемо:

метод гауса приклад розв'язування

На наступному кроці, переходимо до виключення невідомої x2 з третього і четвертого рівнянь системи. Для цього, коефіцієнти другого рівняння поділимо на a22=-14, після чого, від третього рівняння віднімаємо друге помножене на a32=-32 і від четвертого – друге помножене на a42=3.

Після виконання даного кроку система набуде наступного вигляду:

метод гауса приклад розв'язування

Далі, переходимо до виключення невідомої x3 з четвертого рівняння системи. Для цього, аналогічним чином, коефіцієнти третього рівняння ділимо на a33=10.1 і від елементів четвертого рівняння віднімаємо елементи третього, помножені на a43=-7.3:

метод гауса приклад розв'язування

На останньому кроці, коефіцієнти четвертого рівняння розділимо на a44=4.4:

метод гауса приклад розв'язування

Отже, система приведена до “ступінчастого” вигляду.

Перейшовши до етапу номер два (обернений хід), виконаємо послідовне знаходження значень невідомих величин.

З останнього рівняння маємо, що x4=-1. Підставляючи це значення в третє рівняння системи матимемо: x3=1. Продовжуючи далі такзвану “зворотню підстановку”, отримаємо: x2=2, x1=3.

Таким чином, рішенням заданої системи рівнянь є наступні значення:

метод гауса приклад розв'язування

Зазначимо, що розв’язати систему лінійних рівнянь методом Гауса, на сайті, можна за допомогою відповідного онлайн-калькулятора. Зокрема, для розглянутого вищу прикладу, матимемо наступні результати:

метод гауса розв'язання систем лінійних рівнянь

Дивіться також

Під час вивчення методу Гауса для розв’язання систем лінійних рівнянь, вам може бути корисно ознайомитися з іншими методами та темами, які покликані розширити ваші знання у галузі лінійної алгебри та матричних обчислень. Ось кілька рекомендованих тем:

  1. Розв’язування систем лінійних рівнянь методом Гауса з вибором головного елемента: Цей підхід робить ваші обчислення ефективнішими та точнішими, що особливо корисно при роботі з великими матрицями.
  2. Як використовуючи алгоритм методу Гауса обчислити визначник матриці: Визначник матриці – це ключова величина в лінійній алгебрі, і алгоритм Гауса може допомогти вам знаходити його з легкістю.
  3. Метод Жордана-Гауса для знаходження розв’язку систем лінійних рівнянь: Цей метод допоможе вам розширити знання та вміння у роботі з системами лінійних рівнянь, включаючи знаходження обернених матриць.

Метод Гауса в Алгоритмічному Виконанні: Блок-схема для Розв’язання Систем Рівнянь

метод гауса блок схема

Залишити коментар

Your email address will not be published. Required fields are marked *

*