Метод Гаусса. Розв'язок системи лінійних рівнянь методом Гаусса

Розв'язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь за методом Гаусса (метод послідовного виключення змінних) знаходиться за два етапи. На першому етапі вихідну систему рівнянь зводять до рівносильної їй системи трикутної форми — прямий хід методу Гаусса. На другому етапі, використовуючи систему трикутної форми, знаходимо значення невідомих величин (обернений хід методу Гаусса).

Прямий хід методу Гаусса: Нехай дано систему лінійних алгебраїчних рівнянь виду:

Нехай (ведучий елемент), цього можна досягнути перестановкою рівнянь. Поділивши коефіцієнти першого рівняння системи (1) на отримаємо:

де .

Користуючись рівнянням (2), легко виключити із другого рівняння системи (1) невідому . Для цього достатньо від другого рівняння системи (1) відняти рівняння (2), помножене на ; від третього рівняння системи (1) , відняти рівняння (2), помножене на , і так далі.

Таким чином, ми отримуємо систему трикутної форми, яка має вигляд:

Обернений хід методу Гаусса: Цей етап полягає у знаходженні значень невідомих із системи, яку ми отримали на попередньому кроці. Його називають оберненим ходом тому, що спочатку з останнього рівняння знаходимо :

Потім, підставляємо цю величину у -ше рівняння — знаходимо :

Далі підставляємо  і  в -ге рівняння системи (3) — знаходимо . Продовжуючи даний процес далі, знайдемо шуканий розв'язок системи (1). Очевидно, що даний процес визначений однією формулою:

Розв'язок системи лінійних рівнянь методом Гаусcа — приклад:

Нехай потрібно знайти розв'язок насутпної системи лінійних рівнянь:

Прямий хід методу Гаусса: виходячи з того, що елемент  дорівнює одиниці, то для того, щоб виключити з другого, третього і четвертого рівнянь системи невідому, достатньо від цих рівнянь відняти перше помножене на відповідно. В результаті отримаємо:

На наступному кроці, переходимо до виключення невідомої з третього і четвертого рівнянь системи. Для цього, коефіцієнти другого рівняння поділимо на , після чого, від третього рівняння віднімаємо друге помножене на і від четвертого — друге помножене на . Після виконання даного кроку система набуде наступного вигляду:

Далі, переходимо до виключення невідомої з четвертого рівняння системи. Для цього, аналогічним чином, коефіцієнти третього рівняння ділимо на і від елементів четвертого рівняння віднімаємо елементи третього, помножені на :

На останньому кроці прямого ходу, коефіцієнти четвертого рівняння розділимо на :

Обернений хід методу Гаусса: З останнього рівняння системи отриманої після виконання прямого ходу методу Гаусса знаходимо значення невідомої . Підставляючи дане значення в третє рівняння отримуємо . Продовжуючи далі такзвану «зворотню підстановку», отримаємо . Таким чином розв'язком заданої системи лінійних рівнянь є наступні значення: .

Блок-схема алгоритму методу Гаусса:

Метод Гаусса алгоритм

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар