Метод Брауна. Розв'язок СНАР методом Брауна

На відміну від покрокової лінеаризації рівнянь нелінійної системи, яка здійснюється в методі Ньютона, Брауном було запропоновано проводити на кожному ітераційному кроці почергову лінеаризацию рівнянь системи, тобто лінеаризувати в системі спочатку перше рівняння, потім друге і т.д. Після чого, послідовно вирішувати одержувані таким чином рівняння. Для простоти викладу розглянемо даний процес для випадку двох нелінійних рівнянь.

Нехай потрібно знайти рішення системи:

Метод Брауна

і припустимо, що на k-й ітерації ми отримали наближення метод Брауна до розв'язку системи (1). Замінимо перше рівняння системи (1) лінійним, отриманим в результаті розкладу функції двох змінних в ряд Тейлора: метод Брауна. Далі, перетворимо дане рівняння до виду, в якому метод Брауна (позначимо через метод Брауна) виражено через метод Брауна. В результаті отримаємо:

метод Брауна

При метод Брауна знаходимо значення метод Брауна змінної метод Брауна:

метод Брауна

Дане значення не являється наступним (k+1)-м наближенням невідомої метод Брауна, оскільки воно не враховує другого рівняння системи (1). Підставивши в друге рівняння системи замість метод Брауна змінну метод Брауна отримуємо деяку функцію метод Брауна, яка являється функцією однієї змінної метод Брауна. Розкладемо друге рівняння системи (1) в ряд Тейлора, використовуючи в даному випадку формулу для функцій однієї змінної:

метод Брауна

При визначенні похідної метод Брауна потрібно врахувати, що метод Брауна є складна функція, тобто необхідно застосувати формулу повної похідної: метод Брауна.

Продиференціювавши по метод Брауна рівність (2), отримуємо вираз:

метод Брауна

Підставивши отримане значення в (4) при метод Брауна будемо мати:

метод Брауна

При відомих значеннях метод Брауна і метод Брауна можна легко знайти розв'язок лінійного рівняння (3) і таким чином отримуємо (k+1)-ше наближення невідомої метод Брауна:

метод Брауна

Замінивши в (2) змінну метод Брауна знайденим значенням, отримуємо (k+1)-ше наближення невідомої метод Брауна:

метод Брауна

Таким чином, для того, що отримати розв'язок системи (1) за методом Брауна, необхідно виконати наступні дії: на першому кроці необхідно вибрати початкове наближення метод Брауна; далі, кожне наступне наближення згідно методу Брауна обчислюється за наступними формулами:

метод Брауна

При чому, розрахунки повинні проводитись в тій послідовності, в якій вони записані. Обчислювальний процес за методом Брауна продовжується до тих пір, поки не буде виконуватись нерівністьметод Брауна (умова зупинки ітераційного процесу методу Брауна). Якщо дана умова виконується, то в якості шуканого розв'язку приймаються значення метод Брауна.

Блок-схема програмної реалізації методу Брауна для розв'яку системи двох нелінійних рівнянь:

Метод Брауна

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар