Метод Брауна. Розв'язок СНАР методом Брауна

На відміну від покрокової лінеаризації рівнянь нелінійної системи, яка здійснюється в методі Ньютона, Брауном було запропоновано проводити на кожному ітераційному кроці почергову лінеаризацию рівнянь системи, тобто лінеаризувати в системі спочатку перше рівняння, потім друге і т.д. Після чого, послідовно вирішувати одержувані таким чином рівняння. Для простоти викладу розглянемо даний процес для випадку двох нелінійних рівнянь.

Нехай потрібно знайти рішення системи:

і припустимо, що на k-й ітерації ми отримали наближення  до розв'язку системи (1). Замінимо перше рівняння системи (1) лінійним, отриманим в результаті розкладу функції двох змінних в ряд Тейлора: . Далі, перетворимо дане рівняння до виду, в якому  (позначимо через ) виражено через . В результаті отримаємо:

При знаходимо значення змінної :

Дане значення не являється наступним (k+1)-м наближенням невідомої , оскільки воно не враховує другого рівняння системи (1). Підставивши в друге рівняння системи замість  змінну  отримуємо деяку функцію , яка являється функцією однієї змінної . Розкладемо друге рівняння системи (1) в ряд Тейлора, використовуючи в даному випадку формулу для функцій однієї змінної:

При визначенні похідної потрібно врахувати, що є складна функція, тобто необхідно застосувати формулу повної похідної: .

Продиференціювавши по  рівність (2), отримуємо вираз:

Підставивши отримане значення в (4) при будемо мати:

При відомих значеннях і можна легко знайти розв'язок лінійного рівняння (3) і таким чином отримуємо (k+1)-ше наближення невідомої :

Замінивши в (2) змінну  знайденим значенням, отримуємо (k+1)-ше наближення невідомої :

Таким чином, для того, що отримати розв'язок системи (1) за методом Брауна, необхідно виконати наступні дії: на першому кроці необхідно вибрати початкове наближення ; далі, кожне наступне наближення згідно методу Брауна обчислюється за наступними формулами:

При чому, розрахунки повинні проводитись в тій послідовності, в якій вони записані. Обчислювальний процес за методом Брауна продовжується до тих пір, поки не буде виконуватись нерівність (умова зупинки ітераційного процесу методу Брауна). Якщо дана умова виконується, то в якості шуканого розв'язку приймаються значення .

Блок-схема програмної реалізації методу Брауна для розв'яку системи двох нелінійних рівнянь: