Логарифмічне диференціювання

Логарифмічним диференціюванням називається метод диференціювання функцій, при якому спочатку знаходиться логарифм функції, а потім обчислюється похідна від нього. Зазначимо, що такий прийом доцільно застосувати у випадку, коли задана функція містить множення, ділення, піднесення до степеня чи видобування кореня.

Розглянемо даний підхід більш детально. Отже, нехай дана функція . Візьмемо натуральні логарифми від обох її частин. В результаті отримаємо:

Тепер, продиференціюємо цей вираз як складну функцію, маючи на увазі, що  — це функція від :

Виразивши з останньої рівності шукану похідну, остаточно отримаємо:

Зазначимо, що похідна виду (3) називається логарифмічною похідною, а процес її знаходження — логарифмічним диференціюванням.

Зауваження: метод логарифмічного диференціювання дозволяє також ефективно обчислювати похідні і степенево-показникових функцій, тобто функцій виду , де  і  — диференційовані функції від :

В даному випадку, при розв'язанні конкретних прикладів, можна використовувати безпосередньо формулу (4), або кожного разу проводити логарифмічне диференціювання.

Логарифмічне диференціювання — приклади розв'язання:

Приклад 1: знайти похідну функції наступного вигляду:

Зазначимо, що знаходити похідну за формулою «похідна дробу» тут нераціонально через складність аналітичного виразу для заданої функції. Тому, для початку, знайдемо логарифмічну похідну цієї функції. Для цього прологарифмируем ліву і праву її частини:

На наступному кроці, продиференціюємо обидві частини отриманої рівності, враховуючи, що - функція від :

Далі, з отриманого рівняння знаходимо похідну  і замінюємо  на її аналітичний вираз:

Приклад 2: знайти похідну функції .

Отже, діючи, як і в попередньому прикладі, будемо мати:

Приклад 3: знайти похідну функції .

Задана функція є степенево-показниковою, бо і основа степеня , і показник степеня є функціями від . Отже, за формулою (4) маємо: