Наближення таблично заданої функції з допомогою лінійної інтерполяції

При великій кількості вузлів інтерполяції сильно зростає степінь інтерполяціонних многочленів, що робить їх незручними для обчислень. Уникнути даної проблеми можна розбивши відрізок інтерполяції на кілька частин з побудовою на кожній з них окремого интерполяционного многочлена.

Найпростішим і водночас часто використовуваним видом такого роду інтерполяції, є кусочно-лінійна інтерполяція. Вона полягає в тому, що задані точки Лінійна інтерполяція з'єднуються прямолінійними відрізками, а функція Лінійна інтерполяція наближається до ламаної з вершинами в даних точках.

Лінійна інтерполяція

Лінійна інтерполяція

Тобто, через кожні дві точки Лінійна інтерполяція та Лінійна інтерполяція проводиться пряма, рівнянням якої являється поліном першої степені Лінійна інтерполяція (де Лінійна інтерполяція), невідомі коефіцієнти якого можна знайти з умови проходження прямої через задані дві точки, тобто розв'язавши наступну систему з двох лінійних рівнянь:

Лінійна інтерполяція

де перше рівняння — це умова проходження прямої через точку з координатами Лінійна інтерполяція, друге рівняння — умова проходження прямої через точку з координатами Лінійна інтерполяція.

Розв'язок даної системи можна отримати за будь-яким з чисельних методів (метод Крамераметод Гаусса,...) а можна скористатись методом підстановок, з допомогою якого невідомі коефіцієнти визначаються за наступними формулами:

Лінійна інтерполяція

Отже, при використанні кусочно-лінійної інтерполяції, спочатку необхідно визначити інтервал, в який потрапляє значення аргументу Лінійна інтерполяція, потім підставити це значення у формулу (1) з відповідними для даного інтервалу коефіцієнтами і знайти наближене значення функції.

Лінійна інтерполяція — приклад:

Знайти наближене значення функції linear_interpolation20 в точці linear_interpolation21, якщо відома наступна таблиця її значень:

linear_interpolation22

Таблиця фіксованих значень функції

Розв'язок даної задачі будемо здійснювати використовуючи формули лінійної інтерполяції (1), (3). Для цього, спочатку визначемо між якими вузлами фіксованих значень міститься точка linear_interpolation21. В нашому випадку вона міститься між вузлами linear_interpolation23 та linear_interpolation24. Далі, підставляючи дані точки та значення функції в них у формулу (3) — знаходимо коефіцієнти полінома першої степені, після чого, знаходимо значення функції у заданій точці:

linear_interpolation25

Блок-схема програмної реалізації методу лінійної інтерполяції:

Блок-схема методу лінійної інтерполяції

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар