Квадратне рівняння. Обчислення дискримінанту та коренів квадратного рівняння
Рівняння виду , де
— дійсні числа, причому
, називається квадратним рівнянням. Нагадаємо, що
називається дискримінантом квадратного тричлена. Якщо
, то рівняння (1) має два різних дійсних кореня, які легко обчислюються за наступними формулами:
Відмітимо, що знайшовши корені та
квадратне рівння (1) можна представити в наступному вигляді:
Якщо , то рівняння (1) має два кореня, значення яких співпадають, і обчислюються за формулою:
Аналогічно попередньому випадку, знайшовши корені квадратного рівняння дискримінант якого рівний нулю, його можна переписати у наступному вигляді:
Якщо ж , то, в рівняння (1) дійсних коренів не має, а має два комплексних спряжених кореня. Формули для їх обчислення записуються наступним чином:
Зауваження: в останньому випадку, , де
.
Квадратне рівняння - приклади розв'язання:
Приклад 1: знайти коріння квадратного рівняння наступного виду: .
Для цього, на першому кроці, обчислюємо дискримінант. В результаті отримаємо:. Виходячи з того, що отримане значення являється більшим від нуля, то дане квадратне рівняння має два дійсних різних кореня, для обчислення яких необхідно скористатись формулами (2):
Приклад 2: знайти корені наступного квадратного рівняння: .
Для цього, аналогічним чином, на першому кроці обчислюємо дескримінант: . Далі, виходячи з того, що отриманне значення являється меншим нуля, дане рівняння має два комплексних спряжених кореня, обчислити значення яких можна скориставшись формулами (6):
Приклад 3: розв'язати квадратне рівняння наступного вигляду: .
Отже, як і у попередніх прикладах, на першому етапі, обчислюємо дискримінант: . Далі, виходячи з того, що отриманне значення являється рівним нуля, дане рівняння має два кореня, значення яких співпадають і обчислюються за формулою (4):