Поняття фрактала. Крива Коха та алгоритм її побудови

Поняття фрактала з'явилося в кінці сімдесятих років минулого століття і стало широко застосовуватися математиками і комп'ютерними художниками. Фрактали знайшли широке застосування в комп'ютерній графіці завдяки компактності математичного апарату, необхідного для їх відтворення на екрані комп'ютера.

Слово фрактал походить від латинського fractus і в перекладі означає «cкладений із фрагментів». Цей термін запропонований французько-американським математиком Бенуа Мандельбротом у 1975 році для позначення самоподібних структур.

У комп'ютерній графіці використовують таке означення фрактала: фракталом називається геометрична фігура, яка складається з частин, які в певному розумінні подібні за формою на всю фігуру, тобто це геометрична фігура, в якій один і той самий фрагмент повторюється при кожному зменшенні масштабу (частина об'єкта схожа на сам об'єкт). Тобто, характерною рисою фрактала є самоподібність відносно масштабу (наприклад, гірський камінь має такі ж обриси, як і гірський хребет).

Існують конструктивні (геометричні) та динамічні (алгебраїчні) фрактали. Найбільш наочними є геометричні фрактали, оскільки їхня форма може бути описана як послідовність простих геометричних операцій. На площині їх отримують за допомогою деякої ламаної, яка називається генератором. За один крок алгоритму кожен із відрізків ламаної замінюється на ламану-генератор у відповідному масштабі. У результаті нескінченного повторення кроків цього алгоритму одержуємо геометричний фрактал. Тому алгоритми побудови фракталів в більшості випадків носять рекурсивний характер. Рекурсивність обумовлює властивість самоподібності фрактала.

Прикладом геометричного фрактала є побудована у 1904 році шведським математиком Хельге фон Кохом крива, яка називається кривою Коха. Відмітимо, що одною з основних особливостей фрактальної кривої Коха є те, що в кожній точці вона не має похідної, а сама крива і кожна її частина має нескінченну довжину. На рисунку що міститься нижче, зображено наближення кривої Коха.

Крива Коха п'ятого порядку

Алгоритм побудови кривої Коха виглядає наступним чином: беремо одиничний інтервал, поділяємо його на три рівні частини і замінюємо середній інтервал рівностороннім трикутником без цього сегмента. В результаті утворюється ламана, що складається з чотирьох ланок довжиною (крива Коха першого порядку). На наступному кроці повторюємо аналогічні дії для кожної з чотирьох одержаних ланок (крива Коха другого порядку). Після цього — для шістнадцяти ланок (крива Коха третього порядку) і так далі, продовжуючи аналогічні дії далі, ми зупинимося на певному кроці (уявно цей процес можна продовжити до нескінченності). Фігура, що з'явиться в результаті цих операцій і буде фракталом Коха.

Зауваження: якщо за основу кривої Коха взяти сторони правильного многокутника, то можна одержати гарні зображення (варіації на тему кривої Коха). Наприклад, якщо за основу взяти квадрат, а як генератор — фрагмент Коха, орієнтований назовні квадрата, то одержимо фігуру «острів Коха».

Побудова кривої коха — приклад:

Використовуючи розглянутий вище алгоритм побудувати криву Коха третього порядку.

Отже, спочатку береться одиничний інтервал. Це нульова ітерація в побудові кривої. Наступна, перша ітерація, виконується наступним чином: вихідна пряма умовно розділяється на три рівні частини, і на підставі центральної третини будується рівносторонній трикутник, після чого центральна третину відкидається. Що виходить в результаті, показано на наступному рисунку.

Крива Коха першого порядку

На наступній ітерації, кожен з чотирьох відрізків ламаної кривої розділяється на три рівні частини. Кожна центральна частина служить основою для рівностороннього трикутника, а самі центральні частини відкидаються. Результат виконання другої ітерації зображено на рисунку що міститься нижче.

Крива Коха другого порядку

Далі, діємо за тією ж схемою, а саме, кожен відрізок кривої розбивається на три рівні частини, на основі центральних частин будуються рівносторонні трикутники, після чого, центральні частини відкидаються. В результаті, отримаємо шукану криву Коха третього порядку.

Крива Коха третього порядку

Блок-схема алгоритму побудови кривої Коха

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:
Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар