Категорія: Наближене рішення систем нелінійних рівнянь

Метод Брауна. Розв’язок СНАР методом Брауна

На відміну від покрокової лінеаризації рівнянь нелінійної системи, яка здійснюється в методі Ньютона, Брауном було запропоновано проводити на кожному ітераційному кроці почергову лінеаризацию рівнянь системи, тобто лінеаризувати в системі спочатку перше рівняння, потім друге і т.д. Після чого, послідовно вирішувати одержувані таким чином рівняння. Для простоти викладу розглянемо даний процес для випадку двох нелінійних рівнянь.

Нехай потрібно знайти рішення системи:

і припустимо, що на k-й ітерації ми отримали наближення до розв’язку системи (1). Замінимо перше рівняння системи (1) лінійним, отриманим в результаті розкладу функції двох змінних в ряд Тейлора: . Далі, перетворимо дане рівняння до виду, в якому (позначимо через ) виражено через . В результаті отримаємо:

Розв’язок системи нелінійних алгебраїчних рівнянь використовуючи метод Зейделя

Нехай потрібно знайти розв’язок системи нелінійних алгебраїчних рівнянь (СНАР) виду (1), використовуючи при цьому метод Зейделя.

Розв'язок нелінійних системи методом Зейделя

Для застосування даного методу систему (1), аналогічно, як і у методі простої ітерації, за допомогою еквівалентних перетворень необхідно привести до наступного вигляду (один із способів приведення системи (1) до виду (2) можна знайти за посиланням Розв’язок систем нелінійних рівнянь методом ітерації):

metod_zejdelja_snr2

Далі, задавши початкове наближення , реалізується ітераційний процес обчислення наближень до розв’язку системи за наступними формулами:

Розв’язок системи нелінійних рівнянь за методом градієнтного спуску

Основним недоліком методу Ньютона чи методу простої ітерації (послідовних наближень) при знаходженні розв’язку системи нелінійних рівнянь (СНР) являється процес вдалого вибору початкового наближення, при якому б ітераційний процес даних методів був збіжний. Для того, щоб уникнути даної проблеми, можна скористоатись будь-яким з оптимізаційних методів мінімізації функції багатьох змінних. Серед методів даної групи розглянемо метод найшвидшого спуску (градієнтний метод). Основна ідея даного методу полягає у зведенні задачі на знаходження розв’язку СНР до відшукання точки мінімуму функції декількох змінних, яка складається з суми квадратів функцій, які містяться в лівій частині рівнянь заданої системи.

Розглянемо даний процес більш детально. Для зручності, візьмемо систему, яка складається з двох нелінійних рівнянь з двома невідомими:

Далі, як було вище сказано, з функцій та системи (1) утворюємо нову функцію, яка приймає насутпний вигляд: . Виходячи з того, що дана функція завжди є додатною, то для неї знайдеться деяка точка , така що . Отже, якщо тим чи іншим способом вдається отримати точку, яка мінінізує функцію і якщо при цьому виявиться, що , то виходячи з того, що

Розв’язок системи нелінійних рівнянь методом итерації (послідовних наближень)

Для розв’язку систем нелінйних рівнянь можна також використовувати і метод простої ітерації (послідовних наближень). Процес збіжність даного методу, на відміну від методу Ньютона, є набагато повільнішим, проте він не вимагає, на кожній ітерації, знаходження розв’язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Для простоти, розглянемо систему, яка складається з двох нелінійних рівнянь:

Згідно методу ітерації, систему (1) потрібно замінити рівносильною їй системою, наступного виду:

Припустимо, що розв’язок систем (2) міститься на деякому замкнутому прямокутнику , і при чому він є єдиним (). Вибравши в якості початкового наближення довільну точку , і використавши формули:

Метод Ньютона для розв’язку системи двох нелінійних рівнянь

Розглянимо систему, яка складається з двох рівнянь, серед яких є хоча б одне нелінійне:

де та неперервні та диференційовні функції. Розв’язок даної системи будемо шукати використовуючи метод Ньютона. Для цього, припустимо, що нам вже відоме -е наближення для невідомих та . Більш точне наближення , згідно методу Ньютона, можна отримати наступним чином. Покладемо і підставимо дані значенняч у систему (1). В результаті отримаємо: