Мінімізація функції однієї змінної методом рівномірного пошуку

Нехай потрібно розв'язати задачу на відшукання безумовного мінімум унімодальної функції однієї змінної , тобто знайти таку точку , що . Нагадаємо, що функція  називається унімодальною на інтервалі , якщо на даноу інтервалі вона досягає свого глобального мінімуму в єдиній точці , причому ліворуч від  ця функція строго спадає, а праворуч — строго зростає. Для розв'язку поставленої задачі на практиці, як правило, застосовують наближені методи. Вони дозволяють знайти рішення цієї задачі з необхідною точністю в результаті визначення кінцевого числа значень функції  і її похідних в деяких точках відрізка . Методи, які використовують тільки значення функції і які не потребують обчислення її похідних, називаються прямими методами мінімізації.

Читати повністю

Знаходження всіх дійсних коренів алгебраїчного рівняння шляхом видалення вже знайдених коренів

Один із недоліків методу половинного ділення чи будь-якого з ітераційних методів розв'язку нелінійних алгебраїчних рівнянь є той факт, що процес збігається невідомо до якого кореня. Сьогодні розглянемо один із способів уникнути даної проблеми, який полягає у видалені вже знайденого кореня.

Отже, нехай задано рівняння , для якого на заданому відрізку необхідно знайти всі дійсні корені (відмітимо що функція на даному відрізку є неперервною). Далі припустимо, що є простий корінь рівняння (1), тоді допоміжна функція буде також неперервною на даному інтвалі, причому всі нулі функцій  та співпадають за винятком , тобто . Якщо  кратний корінь рівняння (1), то він буде нулем і для  кратності на одиницю менше. Решта нулів обох функцій як і раніше будуть однакові. Тому знайдений корінь можна видалити, тобто перейти до функції . Тоді знаходження інших нулів  зведеться до знаходження нулів .

Далі, припустимо, що на другому кроці ми знайшли деякий корінь функції . Цей корінь теж мжна видалити, ввівши нову допоміжну функцію . Відзначимо, що таким чином можна послідовно знайти всі корені заданого рівняння (1).

Читати повністю

Знаходження власних значень матриці використовуючи алгоритм LU-розкладання

Частіше, принаймні, в несиметричному випадку, алгоритми наближеного рішення повних проблем власних значень грунтуються на приведенні заданої матриці до подібної їй матриці не діагонального, а трикутного вигляду. Найпоширенішим серед таких є алгоритм, що спирається на LU-розкладанні матриці. Розглянемо його більш детально. Для цього розглянемо квадратну матрицю  розмірності , записану у вигляді добутку , де  і  — відповідно нижня і верхня трикутні матриці, елементи яких обчислюються за наступними формулами :

Зауваження: більш детальну інформацію про обчислення елементів матриць  і  можна знайти за посиланням Розв'язок СЛАР методом LU-факторизації.

Далі, позначимо , після чого, роз'вяжемо дану рівність відносно . В результаті отримаємо . Підставами останній вираз у формулу LU-розкладання матриці , отримаємо перетворення подібності , яке говорить про подібність матриць  та  і відповідно про рівність їх власних значень. Далі, представимо матрицю  у вигляді , після чого, поклавши , отримаємо нову матрицю, подібну до матриць  і  відповідно. Продовжуючи даний процес далі, можна зробити висновок, що алгоритм знаходження власних значень згідно алгоритму LU-розкладання визначається фактично двома формулами:

Читати повністю

Інтерполяція функції тригонометричними поліномами

Нехай Інтерполяція тригонометричними поліномами періодична і задана на осі trigonometric_interpolation2 функція. Шляхом лінійної заміни незалежної змінної період функції можна зробити рівним trigonometric_interpolation3. У цьому випадку задану функцію доцільно інтерполювати тригонометричним поліномом:

trigonometric_interpolation5

таким що trigonometric_interpolation6, де trigonometric_interpolation7 точки з проміжку trigonometric_interpolation8. Поліном trigonometric_interpolation9 будемо називати тригонометричним поліномом порядку trigonometric_interpolation10.

Нехай trigonometric_interpolation11. Необхідно підібрати коефіцієнти полінома таким чином, щоб виконувались наступні рівності:

trigonometric_interpolation12

Тобто ми отримали систему рівнянь із trigonometric_interpolation13 невідомими trigonometric_interpolation14. Як відомо, визначник даної системи відмінний від нуля, тому дана інтерполяційна задача має роз'язок, причому єдиний.

Читати повністю

Використання інтерполяційних методів для ровз'язку нелінійних рівнянь

Ідея інтерполяційних методів полягає в тому, що задача знаходження коренів рівняння на проміжку , замінюється задачею знаходження коренів інтерполяційного полінома , побудованого для функції .

Розглянемо випадок, коли для  будується інтерполяційний поліном першого порядку  — інтерполяційний метод першого порядку. Припустимо, що нам відомі наближення і до кореня рівняння (1) (відмітимо, що в якості нульового і першого наближень зазвичай беруться наступні знаення або , де  — достатньо мале число). Вибравши їх в якості вузлів інтерполяції, побудуємо для функції  інтерполяційний поліном у формі Ньютона для нерівновіддалених значень аргументу:

де  — розділена різниця першого порядку. Замінюючи в рівнянні (1) функцію  інтерполяційним поліномом (2), одержимо лінійне рівняння . Приймаючи його розв'язок за нове наближення, приходимо до інтерполяційного методу першого порядку:

Відмітимо, що процес знаходження розв'язку рівняння (1) згідно інтерполяційного методу першого порядку, як і будь-якого іншого методу рішення задач такого типу, необхідно продовжувати до тих пір, поки модуль різниці між двома сусідніми значеннями наближень не стане меншим за деяке число , тобто .

Читати повністю

Інтерполяційна схема Ейткена

Нехай функція і розташування вузлів на відрізку інтерполяції такі, що інтерполяціний процес має збіжність. І нехай потрібно знайти не загальний вираз , а лише його значення при конкретних , тобто вирішується задача обчислення окремих наближених значень функції  за допомогою обчислення відповідних їм значень інтерполяційного многочлена Лагранжа . Розглянемо даний процес більш детально і побудуємо обчислювальну схему для отримання наближеного значення таблично заданої функції  в заданій точці , в основу якої буде покладена інтерполяція Лагранжа на сітці вузлів . Організація обчислень за цією схемою матиме ітераційний характер, кожен крок якої полягає в обчисленні деякого визначника другого порядку.

Нехай дано дві точки на кривій : і . Побудуємо функцію :

Тобто  збігається з інтерполяційним многочленом Лагранжа першої степені, побудованим за двома даними точкам. Побудуємо через визначник функцію для точок  та :

Читати повністю

Обчислення подвійних інтегралів методом клітин

Розглянемо метод клітин на прикладі подвійного інтеграла. Відмітимо, що зробивши відповідні зміни, його можна поширити і на випадок інтегралів більшої кратності. Отже, нехай маємо інтеграл виду , де  — прямокутник, такий що .

З курсу математичного аналізу відома теорема про середнє. Якщо підінтегральна функція неперервна і інтегровна, то існує така точка , що, де площа прямокутника .

Якщо середнє значення функції замінити на значення функції в центрі прямокутника, то отримаємо наближену формулу:

Точність цієї формули можна підвищити, якщо область розбити на частини (на елементарні клітини) і до кожної з них застосувати формулу (1). Тобто якщо область інтегрування є прямокутник, то останню формулу перепишемо у наступному вигляді:

Читати повністю

« Попередня сторінкаНаступна сторінка »