Категорія: Методи обчислення

Межі дійсних коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами

Наближене обчислення кореня, будь-якого алгебраїчного рівняння, як правило, розпадається на дві задачі: відокремлення коренів, тобто визначення інтервалів, в кожному з яких міститься тільки один корінь рівняння; уточнення коренів, тобто обчислення його з заданим степенем точності. Прте, перш ніж відокремлювати корені, природно визначити межі області, в якій розташовані всі корені рівняння.

Межі дійсних коренів многочлена

В даному параграфі розглянемо один із способів відшукання цих меж, для випадку, коли алгебраїчне рівняння являється многочленом -ї степені:

Покажемо, спочатку, що для рівняння такого виду, достатньо вміти знаходити лише верхню межу його додатних коренів. Отже, нехай  – верхня межа додатних коренів рівняння (1). Тоді, якщо числа  будуть верхіми межами додатних коренів многочленів відповідно, то буде нижньою межею додатних коренів многочлена (1), а числа і служать нижньою і верхньою межами від’ємних коренів многочлена  відповідно. Таким чином, всі додатні корені  задовольняють нерівність , а від’ємні – нерівність .

Читати далі

Застосування методу Крилова для знаходження власних векторів матриці

Метод Крилова, як і метод Данилевського, дає можливість достатньо просто знайти власні вектора матриці, якщо коефіцієнти характеристичного полінома та його коріння визначені. Продемонструємо це і для простоти обмежимося випадком, коли характеристичний многочлен  матриці , має різні корені .

Отже, нехай – вектори, використовувані в методі Крилова для знаходження коефіцієнтів . Розкладаючи вектор за власними векторами матриці отримаємо:

Де – деякі коефіцієнти.

Звідси, враховуючи, що , отримаємо:

Нехай,  – довільна система многочленів. Тоді, складаючи лінійну комбінацію векторів з коефіцієнтами з (3) та в силу співвідношень (1) і (2), знаходимо:

Читати далі

Пошук власних векторів матриці методом Данилевського

Розглянутий в параграфі Пошук власних значень матриці метод Данилевського дає можливість визначати не тільки всі власні значення матриці , а і всі її власні вектори, при умові, що відповідні їм власні значення являються відомими. Покажемо, яким чином це реалізується. Отже, нехай – власне значення матриці , а отже, і власне значення подібної їй матриці Фробеніуса .

Знайдемо власний вектор матриці , який відповідає власному значенню . Для цього, запишемо лінійне рівняння наступного вигляду: . Звідси або у матрично-векторній формі:

Перемноживши матриці, отримаємо систему для визначення координат власного вектора :

Система (3) – однорідна. Рішення її може бути знайдене в такий спосіб. Покладемо . Тоді, починаючи з останнього рівняння, послідовно отримаємо:

Читати далі

Обчислення наближеного значення похідної функції в точці

Похідна – це математичне поняття, яке широко використовується при розв’язку багатьох задач з математики, фізики та інших наук. Зокрема на даному сайті, нами було розглянуто велике коло чисельних методів, які використовуючи поняття похідної, реалізують процес наближеного розв’язку нелінійних рівнянь та відшукання найбільшого чи найменшого значень функції на заданому проміжку (відмітимо, що з даної групи методів, найбільш відомим являється метод Ньютона, який за скінченне число ітерацій, знаходить наближені значення коренів нелінійного рівняння).

Похідна функції в деякій точці характеризує швидкість зміни функції в цій точці. Оцінку швидкості зміни можна отримати, обчисливши відношення зміни функції до відповідної зміни аргументу . У визначенні похідної таке відношення розглядається за умови, що . Перейдемо до більш детального аналізу даного поняття.

Для цього, розглянемо деяку функцію , неперервну в околі точки і нехай – приріст аргументу в точці . Позначимо через або приріст функції, який дорівнює . Відзначимо тут, що функція неперервна в точці , якщо в цій точці нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції .

Читати далі

Знаходження нормального псевдорозв’язку для систем з прямокутною або виродженою матрицею

При розгляді чисельних методів призначених для розв’язку систем рівнянь, завжди вважалось, що матриця коефіцієнтів при невідомих системи є квадратною, тобто з однаковою кількістю рядків і стовпців. Якщо, наприклад, кількість рядків (кількість рівнянь в системі) буде меншою, ніж кількість стовпців (фактично, кількості невідомих), то система буде невизначеною і всі точні та ітераційні методи рішення лінійних систем, являтимуться неефктивними. Тобто ми не зможемо однозначно визначити всі невідомі.

Але це не єдине обмеження. З векторної алгебри відомо, що система лінійних рівнянь має однозначне рішення тоді і тільки тоді, коли її головний визначник не дорівнює нулю. Що ж робити, коли він (визначник) все-таки дорівнює нулю?

З класичної точки зору, системи такого типу (з прямокутною, або квадратною але виродженою матрицею) розв’язків не мають, але для них вводять поняття узагальненого розв’язку (псевдорозв’язок). Розглянемо дане поняття більш детально.

Читати далі

Псевдообернена матриця. Обертання прямокутних та вироджених матриць

В попередніх параграфах для квадратної невиродженої матриці розглядалася обернена матриця . Якщо ж матриця  прямокутна або квадратна, але вироджена, то вона немає класичної оберненої матриці. Однак в цьому випадку може бути введено поняття узагальненої оберненої матриці , яка має деякі властивості оберненої та використовується при вирішенні деяких систем лінійних алгебраїчних рівнянь. У разі, коли  – квадратна невироджена матриця, узагальнена обернена матриця збігається з оберненою матрицею .

Узагальненою оберненою (псевдооберненою) матрицею для прямокутної матриці  з розмірами називають єдину матрицю, що задовольняє чотирьом умовам:

де означає перехід до сполученої матриці.

Читати далі

Знаходження розв’язку системи однорідних лінійних алгебраїчних рівнянь

Нехай задана система однорідних рівнянь наступного вигляду:

або у векторно-матричній формі , де

Якщо визначник матриці коефіцієнтів  даної системи відмінний від нуля, то в силу формул Крамера система (1) має нульовий розв’язок (), і причому єдиний.

Якщо ж , то в цьому випадку система (1) має безліч розв’язків, в тому числі і ненульові. З (2) випливає, що якщо розв’язок системи рівнянь (2) то , де – довільна стала, також є розв’язком цієї системи; якщо і – розв’язок системи (2), то сума  і  – також є розв’язком цієї системи.

Читати далі

Чисельне інтегрування функції методом Ромберга

Перш ніж приступити до розгляду чергового методу чисельного інтегрування, нагадаємо, що інтеграл від функції чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком цієї функції і межами інтегрування . Відмітимо, що розглядувані на даному сайті методи (метод прямокутниківметод трапецій, метод Сімпсона), базуються на процедурі поділу відрізка  на елементарних частин, після чого, площа криволінійної трапеції обчислюється, як сума площ  прямокутників чи трапецеїдних фігур (в залежності від вибраного методу). Проте, результат отриманий згідно даних методів, сильно залежить від величини кроку (), що позначається на точності обчислення визначеного інтеграла особливо в тих випадках, коли функція має немонотонний характер.

Використання екстраполяції Річардсона, при інтегруванні відомими методами, дозволяє значно скоротити машинний час при незмінній точності результату (оскільки уточнення результату інтегрування не потребує додаткових обчислень функції). Застосування наведеної нижче методики до ітераційної формули трапецій складає розглядуваний метод Ромберга.

Далі, розглянемо основну суть екстраполяції Річардсона. Для цього, вибиремо деякий крок  і розрахуємо по формулі трапецій деяке значення інтеграла . Далі, крок  зменшимо удвічі, в результаті чого, отримаємо нове значення . Тоді, згідно з екстраполяцією Річардсона, розраховане значення інтеграла може бути уточнене за формулою:

Читати далі

Обчислення довжини дуги кривої за допомогою визначеного інтеграла

Сьогодні розглянемо ще одну задачу, яка як і задача обчислення площі плоскої фігури та задача обчислення об’ємів тіл, відноститься до категорії найважливіших геометричних задач, що вирішуються методами інтегрального числення, а саме задачу знаходження довжини дуги кривої.

Для цього, припустимо, що в прямокутній системі координат задано неперервну криву , для якої необхідно знайти довжину дуги , яка розташована в інтервалі між  та .

Апроксимація елемента дуги кривої прямолінійним відрізком

Апроксимація елемента дуги кривої прямолінійним відрізком

Відмітимо, що розв’язок даної задачі почнемо поділом дуги  точками з абсцисами на частин. На наступному кроці поєднаємо дані точки відрізками , довжини яких позначимо через  відповідно. В результаті виконання даного кроку, ми отримали ламану лінію , вписану в дугу . Довжина даної ламаної складається з довжин відрізків , тобто:

Читати далі

Мінімізація функції однієї змінної методом рівномірного пошуку

Нехай потрібно розв’язати задачу на відшукання безумовного мінімум унімодальної функції однієї змінної , тобто знайти таку точку , що . Нагадаємо, що функція  називається унімодальною на інтервалі , якщо на даноу інтервалі вона досягає свого глобального мінімуму в єдиній точці , причому ліворуч від  ця функція строго спадає, а праворуч – строго зростає. Для розв’язку поставленої задачі на практиці, як правило, застосовують наближені методи. Вони дозволяють знайти рішення цієї задачі з необхідною точністю в результаті визначення кінцевого числа значень функції  і її похідних в деяких точках відрізка . Методи, які використовують тільки значення функції і які не потребують обчислення її похідних, називаються прямими методами мінімізації.

Читати далі