Властивості та сума членів геометричної прогресії

Як і у випадку з арифметичною прогресією, при розгляді задач пов'язаних з геометричною прогресією основними являються два питання. Перше з них полягає у знаходженні будь-якого члена прогресії . І друге — у знаходженні суму  членів прогресії. Виходячи з того, що відповідь на перше питання відома (обчислюється за формулою ), то, в даному параграфі, зосередимо свою увагу на виводі формули обчислення суми, але для початку, розглянемо та доведемо деякі властивості геометричної прогресії.

  1. Кожен член знакододатної геометричній прогресії представляє собою середнє геометричне його сусідніх членів (виняток представляє перший член, а у скінченній прогресії також і останній (мають тільки по одному сусідньому члену)).

    Доведемо істенність даного твердження. Отже, для члена , члени і будуть сусідніми. За означенням прогресії маємо: . Звідси, . Перемножимо ці рівності і візьмемо корінь квадратний з отриманого результату. В результаті будемо мати , що і треба було довести.

  2. У скінченній геометричній прогресії добуток членів, рівновіддалених від її кінців, рівні між собою і дорівнюють добутку крайніх членів.

    Доведемо дане твердження також. Так само як і для арифметичної прогресії, на -му місці від початку і від кінця геометричної прогресії, що має  членів, перебувають члени  і відповідно. Скориставшись формулою загального члена прогресії, знайдемо добуток цих елементів. В результаті будемо мати: . Звідси, виходячи з того, що , отримаємо , що і треба було довести.

Виведемо тепер формулу для суми членів скінченної геометричній прогресії, що містить  членів. Отже, позначивши цю суму через , запишемо її вираз розташувавши члени прогресії по зростанню їх номерів:

Читати повністю

Означення та формула обчислення загального члена геометричної прогресії

Геометричною прогресією називається така послідовність чисел, у якій кожен член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне і те саме, задане для даної послідовності, число , яке називається знаменником геометричної прогресії (передбачається, що ).

Якщо число членів прогресії скінченне, то вона називається скінченною геометричною прогресією. В іншому випадку вона називається нескінченною. Наведемо приклади нескінченних геометричних прогресій:

  1.  — знакододатна, монотонно зростаюча геометрична прогресія.
  2.  — знакозмінна геометрична прогресія ( являється меншим нуля).

Абсолютна величина членів другої з наведених вище прогресій, в силу того, що , спадає. У зв'язку з цим прикладом введемо означення: геометрична прогресія називається спадною, якщо , тобто, якщо її члени зменшуються по модулю (зауважимо, що при , як в розібраному прикладі, самі члени прогресії поперемінно змінюють знак і спадної послідовності не утворюють, хоча ми і називаємо прогресію спадною).

Читати повністю

Властивості та сума членів арифметичної прогресії

Власне кажучи, знаючи теоретичний матеріал, що міститься в параграфі означення та формула обчислення -го члена арифметичної прогресії, можна знаходити розв'язок практично будь-якої задачі пов'язаної з арифметичною прогресією. Однак, уявіть ситуацію, що треба знайти суму арифметичної прогресії, що складається з ста елементів. Це що ж нам, один за одним додавати всі члени, з першого по останній? Зрозуміло, що такий підхід до рішення поставленої задачі є не досить зручним. В таких випадках використовується спеціальна формула, але перш ніж приступити до її виводу, розглянемо та доведемо необхідні для цього властивості арифметичної прогресії:

  1. Кожен член арифметичної прогресії дорівнює середньому арифметичному його сусідніх членів (виняток становить перший член, а у скінченній прогресії також і останній (мають тільки по одному сусідньому члену)).

    Покажемо істенність даного твердження. Отже, для члена , члени та будуть сусідніми. За означенням прогресії можемо записати наступне: . Звідси, . Взявши півсуму останніх рівностей, отримаємо , що і треба було довести.

  2. У скінченній арифметичній прогресії суми членів, рівновіддалених від її кінців, рівні між собою і дорівнюють сумі крайніх членів.

    Доведемо дане твердження також. Для цього, випишемо кілька пар членів, рівновіддалених від кінців прогресії: . Переглянувши отримані резільтати можна зробити висновок, що у кожної такої пари, сума їх номерів на одиницю більш числа членів прогресії. Таким чином, якщо на -му місці від початку прогресії знаходиться член , то на -му місці від її кінця знаходиться член . Скориставшись формулою загального члена арифметичної прогресії, знайдемо суму цих елементів:

    Звідси, виходячи з того, що , отримаємо , що і треба було довести.

Виведемо тепер формулу для суми членів скінченної арифметичної прогресії. Для прогресії, що має  членів, позначимо цю суму через . Запишемо вираз суми  двічі, один раз розташувавши члени прогресії по зростанню їх номерів, і другий раз — по спаданню:

Читати повністю

Означення та формула обчислення загального члена арифметичної прогресії

Арифметичною прогресією називається така послідовність чисел, кожен член якої (починаючи з другого) дорівнює сумі попереднього члена і деякого фіксованого числа , яке називається різницею або кроком арифметичної прогресії.

До прикладу натуральний ряд чисел є нескінченною арифметичною прогресією з різницею , а послідовність непарних і парних чисел — нескінченними арифметичними прогресіями, для кожної з яких різниця дорівнює числу два ().

Арифметична прогресія при являється монотонною послідовністю: якщо , то прогресія зростає, якщо , то прогресія спадає, при вона постійна. Нескінченні арифметичні прогресії, для яких різниця не дорівнює нулю, як необмежені послідовності, границі не мають. Вони відносяться до категорії розбіжних послідовностей.

Читати повністю

Розв'язок системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими методом підстановки

Знаходження розв'язку системи лінійних рівнянь, являється однією з найбільш важливіших задач лінійної алгебри. Відмітимо, що на даному сайті розглядається велика кількість точних та ітераційних чисельних методів (метод Крамера, метод Гаусса, метод простої ітерації та інші), рішення задач такого типу. Сьогодні, доповнимо її ще одним методом, який на відміну від розглянутих, являється менш універсальним, тобто вирішує системи малої розмірності, а саме системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими і називається методом підстановки.

Основна суть методу підстановки полягає в тому, що в одному з рівнянь системи (не важливо якому) одна невідома виражається через іншу. Після цього в друге рівняння системи, замість відповідної невідомої, підставляється вираз (отриманий на попередньому кроці), якому відповідає ця невідома. Розглянемо даний процес більш детально. Для цього припустимо, що нам необхідно знайти розв'язок система лінійних рівнянь виду:

Для того щоб розв'язати дану систему методом підстановки будемо слідувати простому алгоритму:

Читати повністю

Квадратне рівняння. Обчислення дискримінанту та коренів квадратного рівняння

Рівняння виду , де  — дійсні числа, причому , називається квадратним рівнянням. Нагадаємо, що називається дискримінантом квадратного тричлена. Якщо , то рівняння (1) має два різних дійсних кореня, які легко обчислюються за наступнимим формулами:

Відмітимо, що знайшовши корені та квадратне рівння (1) можна представити в наступному вигляді: .

Якщо , то рівняння (1) має два кореня, значення яких співпадають, і обчислюються за настуною формулою:

Аналогічно попередньому випадку, знайшовши корені квадратного рівняння дискримінант якого рівний нулю, його можна представити у вигляді .

Читати повністю