Категорія: Математика

Квадратні нерівності

Нехай потрібно розв’язати нерівність (аналогічні міркування проводяться при розв’язуванні непівностей ).

У залежності від знака дискримінанта квадратного тричлена потрібно розглянути два випадки.

  1. Якщо , а старший коефіцієнт додатний, то при всіх значеннях виконується нерівність .
  2. Якщо , то для розв’язування нерівності потрібно квадратний тричлен , за формулою , розкласти на множники, потім від квадратної нерівності перейти до двох систем лінійних нерівностей і знайти їх рішення.

Зауваження: квадратні нерівності, а також нерівності вищих степенів можна розв’язувати методом інтервалів (методом проміжків). В його основі лежить така властивість двочлена : точка ділить вісь на дві частини – праворуч від точки двочлен , а ліворуч від точки .

Читати далі

Розв’язування лінійних нерівностей

Нерівністю з однією змінною називається нерівність, що містить одну незалежну змінну. Розв’язком нерівності називається будь-яке значення змінної, при якому початкова нерівність зі змінною обертається у правильну числову нерівність. Розв’язати нерівність зі змінною – значить знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає.

Дві нерівності називаються рівносильними (еквівалентними), якщо розв’язки цих нерівностей збігаються. Зокрема, нерівності рівносильні, якщо вони не мають розв’язків.

Основні теореми про рівносильні нерівності:

  1. Якщо з однієї частини нерівності перенести до іншої доданок із протилежним знаком, то дістанемо нерівність, рівносильну початковій.
  2. Якщо до обох частин нерівності додати або відняти будь-яке число, то дістанемо нерівність, рівносильну початковій.
  3. Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на додатнє число, то дістанемо нерівність, рівносильну початковій.
  4. Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на від’ємне число, то рівносильною початковій буде нерівність протилежного змісту.

Лінійною нерівністю з однією змінною називається нерівність виду , або ті, які зводяться до них. Розглянемо далі особливості розв’язування лінійних нерівностей. Зазначимо, що особливу увагу, в даному випадку, необхідно звернути на залежність розв’язків нерівності від значень коефіцієнтів і :

Читати далі

Розв’язання ірраціональних рівнянь

Ірраціональним називається рівняння, що містить невідоме під знаком кореня. Прикладами ірраціональних рівнянь є: .

Загальний метод розв’язання ірраціональних рівнянь полягає в наступному: спочатку ізолюють один радикал, потім обидві частини підносять до степеня, потім знову ізолюють радикал і так далі. При піднесенні обох частин рівняння до одного і того ж степеня отримуємо рівняння, яке в загальному випадку не є рівносильним до даного, тому обов’язково потрібно перевірити, чи знайдені значення невідомої змінної задовольняють початкове рівняння. Другий спосіб розв’язку – спосіб заміни змінної. Розв’язуючи ірраціональне рівняння, необхідно, також, перевірити область допустимих значень.

Отже, при розв’язуванні ірраціональних рівнянь:

  1. знаходять область допустимих значень рівняння;
  2. розв’язують рівняння одним з методів;
  3. виконують перевірку отриманих коренів.

Ірраціональні рівняння – приклади розв’язання:

Приклад 1: розв’язати ірраціональне рівняння наступного вигляду: .

Читати далі

Логарифмічне диференціювання

Логарифмічним диференціюванням називається метод диференціювання функцій, при якому спочатку знаходиться логарифм функції, а потім обчислюється похідна від нього. Зазначимо, що такий прийом доцільно застосувати у випадку, коли задана функція містить множення, ділення, піднесення до степеня чи видобування кореня.

Розглянемо даний підхід більш детально. Отже, нехай дана функція . Візьмемо натуральні логарифми від обох її частин. В результаті отримаємо:

Тепер, продиференціюємо цей вираз як складну функцію, маючи на увазі, що  – це функція від :

Виразивши з останньої рівності шукану похідну, остаточно отримаємо:

Зазначимо, що похідна виду (3) називається логарифмічною похідною, а процес її знаходження – логарифмічним диференціюванням.

Читати далі

Похідна параметрично заданої функції

Припустимо, що функція  задана в параметричному вигляді за допомогою двох рівнянь наступного вигляду:

де  допоміжна змінна, яку називають параметром. Запишемо флормулу для знаходження похідної заданої таким чином функції.

Отже, припустимо, що функції і в деякій області зміни параметра  мають похідні, причому . Крім того, будемо вважати, що функція  має обернену функцію .

Зазначимо, що в такому випадку, задану параметричним рівнянням (1), функцію можна розглядати як складну функцію: , де  – проміжний аргумент. І тоді, за правилом диференціювання складної функції, маємо:

Оскільки, по теоремі про похідну оберненої функції виконується (похідна функції, оберненої до даної дорівнює величині, оберненій до похідної даної функції, якщо остання не дорівнює нулю), то формулу (2) можна переписати в дещо іншому вигляді: .

Читати далі

Похідна неявно заданої функції

Якщо функція  визначена співвідношенням  то  називають неявною функцією від .

Інколи рівняння (1) можна розв’язати відносно , тобто можливий перехід від неявного способу визначення функції до явного , але частіше розв’язання рівняння (1) відносно  неможливе. Слід також відзначити, що терміни «явна функція» і «неявна функція» характеризують не природу функції, а аналітичний спосіб її задання.

Для того, щоб знайти похідну неявно заданої функції, потрібно:

  1. Продиференціювати по  обидві частини рівності (1), при цьому  розглядається як незалежна змінна, а  є функцією від , тобто , а  — це шукана похідна.
  2. Розв’язати отримане рівняння відносно .

Похідна неявно заданої функції – приклади розв’язання:

Приклад 1: знайти похідну від функції , заданої неявно.

Отже, продиференціюємо обидві частини рівняння по , враховуючи при цьому, що  є функцією від : . Розв’язуючи отримане рівняння відносно , отримаємо:

Читати далі

Диференціювання складної функції

Нехай дана функція  і при цьому . Тоді вихідну функцію можна представити у вигляді . Зазначимо, що функції такого типу називаються складними, а змінна  – проміжним аргументом.

Встановимо правило диференціювання складних функцій. Отже, якщо функції  і  – диференційовані, то складна функція є також диференційованою, причому:

Це правило поширюється на ланцюжок із будь-якого скінченного числа диференційованих функцій: похідна складної функції дорівнює добутку похідних функцій, які її утворюють.

Похідна складної функції – приклади розв’язання:

Приклад 1: знайти похідну функції .

Отже, маємо cкладну степеневу функцію з проміжним аргументом . Тому функцію можна подати у вигляді , де . Тоді, за формулою (1) маємо:

Читати далі

Правила диференціювання функцій і таблиця похідних

Знаходження похідних за означенням не проста задача. Тому для відшукання похідних від функцій, які утворені з декількох елементарних функцій використовують правила диференціювання, що формулюється наступним чином:

  1. Похідна постійної величини дорівнює нулю: .
  2. Якщо кожна з функцій , , диференційовна в деякій точці , то диференційовною в цій точці є їх алгебраїчна сума, причому похідна алгебраїчної суми цих функцій дорівнює алгебраїчній сумі їх похідних: .
  3. Якщо функції  і  диференційовні в точці  , то їх добуток диференційовний в цій точці і має місце формула: .

    Зауваження: якщо функція , то , тобто постійна величина виноситься за знак похідної.

  4. Якщо функції  диференційовні в точці , причому , то їх частка також має похідну в цій точці, яка обчислюється за формулою: .

    Зауваження: якщо чисельник дробу постійна величина (функція ), то ; якщо знаменник дробу – постійна величина (функція ), то .

Зазначимо, що на підставі означення похідної та розглянутих вище правил диференціювання складається таблиця похідних основних елементарних функцій:

Читати далі

Рівняння дотичної і нормалі до кривої

З курсу аналітичної геометрії відомо, що рівняння прямої, яка проходить через точку з кутовим коефіцієнтом, що дорівнює , має наступний вигляд: .

Дотична і нормаль до кривої

Дотична до кривої в точці має кутовий коефіцієнт . Отже, рівнянням дотичної буде:

Відзначимо, що коли дотична паралельна осі , то кут її нахилу з додатним напрямком осі абсцис дорівнює нулю і тоді . Якщо дотична в точці паралельна осі ,то і тоді .

Читати далі

Механічний і геометричний зміст похідної

Як відомо, похідною функції в точці  називається границя відношення (якщо вона існує) приросту функції в цій точці до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля:

Зазначимо, що рівність (1) можна записати і в дещо іншому вигляді:

тобто похідна функції в точці дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до кривої в точці з додатним напрямком осі . Це твердження і виражає геометричний зміст похідної.

Ілюстрація до визначення геометричного змісту похідної

Справді, оскільки є неперервною функцією кута , то при . Отже, кутовий коефіцієнт дотичної до кривої  в точці можна обчислити за формулою:

Читати далі