Площа та периметр прямокутника

Прямокутник — плоска геометрична фігура у вигляді чотирикутника, протилежні сторони якого не тільки паралельні, але і рівні, а всі чотири кута прямі. Для того, щоб знайти периметр прямокутника необхідно обчислити суму довжин кожної з його сторін. Тобто, для прямокутника зображеного на рисунку нище, будемо мати: , де  — периметр прямокутника.

Зображення прямокутника

Проте, виходячи з того, що прямокутник має по дві пари рівних сторін, то при знаходженні периметра достатньо суму довжин двох його суміжних сторін (довжина плюс ширина) помножити на два. Тобто, знову-таки, повертаючись до прямокутника , отримаємо .

Зауваження: якщо позначити довжину та ширину прямокутника буквами та відповідно, то формула периметра прямокутника перепишеться у більш звичній буквенній формі: .

Читати повністю

Ромб та його властивості

Як нам відомо, прямокутник — це окремий вид паралелограма, який характеризується тим, що його діагоналі рівні. Сьогодні розглянемо характерні властивості ще одного з чотирикутників, який також відносять до класу паралелограмів, але для початку запишемо його визначення. Отже, ромбом називають паралелограм, у якого всі сторони рівні. На рисунку, що міститься нижче зображено ромб діагоналі якого перетинаються в точці .

Зображення ромба та його діагоналей

З означення випливає, що ромб має всі властивості паралелограма (протилежні кути ромба рівні, діагоналі ромба точкою перетину діляться навпіл) і, крім того, діагоналі ромба перпендикулярні і є бісектрисами його кутів.

Для доведення властивостей, які є притаманними лише ромбу, розглянемо його зображення з рисунка вище, і покажемо, що і .

Читати повністю

Формули для обчислення периметра та площі паралелограма

Периметр паралелограма, як і будь-якого багатокутника, дорівнює сумі довжин кожної з його сторін. Наприклад, периметр зображеного нижче паралелограма дорівнює сумі довжин сторін і .

Периметр паралелограма

Периметр паралелограма дорівнює сумі кожної з його сторін

Проте, скориставшись однійє з властивостей паралелограма, а саме властивістю яка свідчить про те, що протилежні його сторони рівні, приходимо до висновку, що для того, щоб знайти периметр паралелограма, достатньо суму довжин його суміжних сторін помножити на два, тобто , де  — периметр паралелограма .

Зауваження: якщо позначити довжини суміжних сторін паралелограма буквами та відповідно, то знайти периметр паралелограма, можна скориставшись наступною формулою: .

Читати повністю

Прямокутник. Означення та властивості

Прямокутником називають чотирикутник, а якщо бути більш точним, то паралелограм, у якого всі кути прямі. На рисунку що міститься нижче зображено паралелограм , який, виходячи з того, що , являється прямокутником.

Зображення прямокутника

Властивості прямокутника збігається з всіма властивостями паралелограма (протилежні сторони прямокутника паралельні та рівні, діагоналі прямокутника точкою перетину діляться навпіл), крім того, діагоналі прямокутника рівні.

Для доведення останньої властивості скористаємось тим фактом, що та рівні за першою ознакою рівності трикутників ( — спільна, як протилежні сторони прямокутника, ). А в рівних трикутниках проти рівних кутів (у нашому випадку прямих кутів) лежать рівні сторони. Отже, діагоналі прямокутника та рівні, як гіпотенузи рівних прямокутних трикутників, що й необхідно було довести.

Читати повністю

Паралелограм. Означення та властивості паралелограма

Паралелограмом називають чотирикутник, у якого кожні дві протилежні сторони паралельні (окремими випадками паралелограма є прямокутник, квадрат і ромб).

Зауваження: якщо діагоналі паралелограма рівні, то він є прямокутником; якщо діагоналі паралелограма перпендикулярні між собою, то цей паралелограм є ромбом; якщо діагоналі паралелограма рівні та перпендикулярні між собою, то цей паралелограм є квадратом (тобто квадрат об'єднує ознаки прямокутника та ромба).

Висотою паралелограма називають перпендикуляр, опущений з будь-якої точки прямої, яка містить сторону паралелограма, на пряму, що містить протилежну сторону. На рисунку, що міститься нижче, кожен із відрізків є висотою паралелограма . При цьому, кажуть що  висоти проведено до сторін  і , а висоти  — до сторін  і  відповідно.

Зображення паралелограма та його висоти

Розглянемо деякі властивості паралелограма.

Читати повністю

Рівняння кривої другого порядку що описує коло

Кривою другого порядку називається лінія, що визначається рівнянням другої степені щодо поточних декартових координат. У загальному випадку це рівняння записується в наступному вигляді:

де коефіцієнти  — дійсні числа і, крім того, принаймі одне із чисел або відмінне від нуля. В залежності від того, які значення приймають дані коефіцієнти, рівняння (1) визначає на площині коло, еліпс, гіперболу або параболу. Сьогодні покажемо, якими вони повинні бути для кола. Для цього, запишемо рівняння, яке описує коло радіуса  з центром в точці :

Розкривши дужки в рівнянні такого виду та виконавши деякі тотожні перетворення, перепишемо його в наступному вигляді:

Порівнюючи далі рівняння (3) із загальним рівнянням кривої другого порядку бачимо, що для того, щоб  рівняння (1) описувало коло необхідно, щоб для нього виконувались наступні дві умови: коефіцієнти при  та  повинні бути рівні між собою і член що містить добуток координат  повинен бути відсутнім.

Читати повністю

Відстань від точки до прямої на площині

Нехай на площині міститься пряма задана своїм рівнянням у загальному вигляді і деяка точка , що не лежить на даній прямій. Через точку  проведемо перпендикуляр до заданої прямої і позначимо точку їх перетину через . Тоді відстань від точки  до прямої буде дорівнювати відстані між точками  та .

Відстань від точки до прямої

Графічне представлення алгоритму знаходження відстані від точки до прямої

Виведемо формулу для обчислення відстані від точки до прямої. Для цього приведемо рівняння заданої прямої до виду рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:

Читати повністю

Наступна сторінка »