Мішаний добуток трьох векторів
Нехай дано три вектора 
, 
і 
. Вектор 
помножимо векторно на 
, векторний добуток 
помножимо скалярно на 
, в результаті отримуємо число, яке називають векторно-скалярним добутком або мішаним добутком 
з трьох векторів 
. Мішаний добуток позначається 
.
Векторно-скалярний добуток 
з трьох некомпланарних векторів дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на векторах , взятому зі знаком плюс, якщо трійка — права і зі знаком мінус, коли ця трійка — ліва.
Ілюстрація до визначення мішаного добутку
Дійсно, 
. Тут 
— площа паралелограма, побудованого на векторах та і 
— висота паралелепіпеда. Таким чином, 
.
Векторний добуток двох векторів
Векторним добутком двох векторів 
і 
називається третій вектор 
, який задовольняє наступним умовам:
- Вектор
перпендикулярний кожному з векторів 
і 
. - Довжина вектора дорівнює площі паралелограмма, побудованого на векторах та , тобто
, де 
— кут між даними векторами. - Вектори , і утворюють праву трійку.
Для векторного добутку, так само як і для скалярного добутку, використовуються різні позначення, а саме 
та 
. Ми ж будемо дотримуватися першого з них, тобто 
.
Ілюстрація до визначення векторного добутку
Зауваження: некомпланарні вектори 
, взяті у вказаному порядку, утворюють праву трійку, якщо з кінця вектора 
найкоротший поворот від до спостерігається проти ходу годинникової стрілки, і ліву трійку, якщо за годинниковою.
Скалярний добуток векторів
Під скалярним добутком двох векторів 
і 
розуміють число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними:
де 
— менший кут між векторами 
та 
(
). Разом із символом 
в літературі часто використовуються й інші позначення, а саме 
або 
.
Оскільки проекція вектора на вісь дорівнює його модулю, помноженому на косинус кута нахилу вектора до цієї осі, то маємо:
Тоді, формулу (1) можна переписати у наступному вигляді:
Таким чином, скалярний добуток двох векторів дорівнює довжині одного з них, помноженої на проекцію другого вектора на вісь, напрямок якої визначається першим вектором.
Проекція вектора на вісь
Нехай задано вектор 
і вісь 
. З кінців вектора опустимо перпендикуляри на вісь (точки 
та 
) і утворимо вектор 
.
Проекцією вектора 
на вісь називають довжину вектора , взяту зі знаком «плюс», якщо напрямки вектора та осі співпадають, і зі знаком «мінус», якщо вказані напрямки протилежні.
Ілюстрація до визначення проекції вектора на вісь
Проекцію вектора будемо позначати через 
або 
, де 
- будь-який ненульовий вектор, що задає напрямок проектування.
Множення вектора на число
Добутком вектора 
на число 
називається вектор 
, колінеарний вектору 
, який має довжину 
і спрямований у той самий бік, що й вектор , якщо 
, і в протилежний, якщо 
(для позначення використовують запис 
).
Множення вектора на число
Зауваження: якщо вектор заданий своїми координатами 
та 
, то добуток цього вектора на число — це вектор 
, координати якого дорівнюють відповідним координатам даного вектора , помноженим на число : 
.
Додавання і віднімання векторів
Нехай 
і 
— два довільних вектори. За допомогою паралельного перенесення приведемо вектор 
до довільної точки 
, а потім від кінця цього вектора відкладемо вектор 
. Сумою цих векторів 
буде вектор 
, початок якого збігається з початком вектора , а кінець — із кінцем (правило трикутника).
Додавання векторів — правило трикутника
Для знаходження суми векторів можна також користуватись правилом паралелограма, згідно з яким вектори та приводять до спільного початку (точка ) і будують на цих векторах, як на суміжних сторонах, паралелограм. Тоді його діагональ, що виходить зі спільної вершини , є сумою векторів .
Означення вектора. Напрям і модуль вектора
У повсякденній практиці ми маємо справу з величинами двох видів. Одні з цих величин такі, як температура, час, маса, довжина, площа можна визначити одним числовим значенням, інші ж величини, такі, як сила, швидкість, прискорення можна визначити тільки тоді, коли відомо не тільки їх числове значення, а й напрям у просторі. Величини першого виду називають скалярними величинами або скалярами. Величини другого виду називають векторними величинами.
Кожну векторну величину геометрично можна зобразити напрямленим прямолінійним відрізком — вектором, довжина якого дорівнює числовому значенню векторної величини (у вибраному масштабі) і напрям співпадає з напрямом цієї величини.
Ілюстрація до визначення вектора
Вектор визначають двома точками: перша — це початок, друга — його кінець. При цьому, додатним напрямом вектора вважається напрямок від його початкової до кінцевої точки, наприклад, вектор 
має початок у точці 
і кінець у точці 
(стрілка вказує напрям вектора).
Загрузка ...