Категорія: Геометрія

Мішаний добуток трьох векторів

Нехай дано три вектора , і . Вектор помножимо векторно на , векторний добуток помножимо скалярно на , в результаті отримуємо число, яке називають векторно-скалярним добутком або мішаним добутком з трьох векторів . Мішаний добуток позначається .

Векторно-скалярний добуток з трьох некомпланарних векторів дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах , взятому зі знаком плюс, якщо трійка – права і зі знаком мінус, коли ця трійка – ліва.

Мішаний добуток векторів

Ілюстрація до визначення мішаного добутку

Дійсно, . Тут – площа паралелограма, побудованого на векторах та і – висота паралелепіпеда. Таким чином, .

Векторний добуток двох векторів

Векторним добутком двох векторів і називається третій вектор , який задовольняє наступним умовам:

Вектор перпендикулярний кожному з векторів і .
Довжина вектора дорівнює площі паралелограмма, побудованого на векторах та , тобто , де – кут між даними векторами.
Вектори , і утворюють праву трійку.

Для векторного добутку, так само як і для скалярного добутку, використовуються різні позначення, а саме та . Ми ж будемо дотримуватися першого з них, тобто .

Векторний добуток двох векторів

Ілюстрація до визначення векторного добутку

Зауваження: некомпланарні вектори , взяті у вказаному порядку, утворюють праву трійку, якщо з кінця вектора найкоротший поворот від до спостерігається проти ходу годинникової стрілки, і ліву трійку, якщо за годинниковою.

Скалярний добуток векторів

Під скалярним добутком двох векторів і розуміють число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними:

де – менший кут між векторами та (). Разом із символом в літературі часто використовуються й інші позначення, а саме або .

Оскільки проекція вектора на вісь дорівнює його модулю, помноженому на косинус кута нахилу вектора до цієї осі, то маємо:

Тоді, формулу (1) можна переписати у наступному вигляді:

Таким чином, скалярний добуток двох векторів дорівнює довжині одного з них, помноженої на проекцію другого вектора на вісь, напрямок якої визначається першим вектором.

Проекція вектора на вісь

Нехай задано вектор і вісь . З кінців вектора опустимо перпендикуляри на вісь (точки та ) і утворимо вектор .

Проекцією вектора на вісь називають довжину вектора , взяту зі знаком «плюс», якщо напрямки вектора та осі співпадають, і зі знаком «мінус», якщо вказані напрямки протилежні.

Проекція вектора на вісь

Ілюстрація до визначення проекції вектора на вісь

Проекцію вектора будемо позначати через або , де – будь-який ненульовий вектор, що задає напрямок проектування.

Множення вектора на число

Добутком вектора на число називається вектор , колінеарний вектору , який має довжину і спрямований у той самий бік, що й вектор , якщо , і в протилежний, якщо (для позначення використовують запис ).

Множення вектора на число

Зауваження: якщо вектор заданий своїми координатами та , то добуток цього вектора на число – це вектор , координати якого дорівнюють відповідним координатам даного вектора , помноженим на число : .

Додавання і віднімання векторів

Нехай і – два довільних вектори. За допомогою паралельного перенесення приведемо вектор до довільної точки , а потім від кінця цього вектора відкладемо вектор . Сумою цих векторів буде вектор , початок якого збігається з початком вектора , а кінець – із кінцем (правило трикутника).

Сума векторів, правило трикутника

Додавання векторів – правило трикутника

Для знаходження суми векторів можна також користуватись правилом паралелограма, згідно з яким вектори та приводять до спільного початку (точка ) і будують на цих векторах, як на суміжних сторонах, паралелограм. Тоді його діагональ, що виходить зі спільної вершини , є сумою векторів .

Означення вектора. Напрям і модуль вектора

У повсякденній практиці ми маємо справу з величинами двох видів. Одні з цих величин такі, як температура, час, маса, довжина, площа можна визначити одним числовим значенням, інші ж величини, такі, як сила, швидкість, прискорення можна визначити тільки тоді, коли відомо не тільки їх числове значення, а й напрям у просторі. Величини першого виду називають скалярними величинами або скалярами. Величини другого виду називають векторними величинами.

Кожну векторну величину геометрично можна зобразити напрямленим прямолінійним відрізком – вектором, довжина якого дорівнює числовому значенню векторної величини (у вибраному масштабі) і напрям співпадає з напрямом цієї величини.

Нульовий вектор, колінеарні вектори, рівні вектори

Ілюстрація до визначення вектора

Вектор визначають двома точками: перша – це початок, друга – його кінець. При цьому, додатним напрямом вектора вважається напрямок від його початкової до кінцевої точки, наприклад, вектор має початок у точці і кінець у точці (стрілка вказує напрям вектора).

Площа круга та кругового сектора

Нагадаємо, що кругом називається частина площини, обмежена колом. Тобто круг радіуса з центром містить точку і всі точки площини, що знаходяться від даної точки на відстані, що не більша за .

Знаходження площі круга з допомогою багатокутників

Виведемо формулу, яка дозволить знайти площу круга радіус якого дорівнює . Для цього розглянемо правильний -кутник , вписаний в коло, що обмежує круг. Очевидно, площа даного кола більша площі багатокутника , так як він цілком міститься в даному колі. З іншого боку, площа кола, вписаного в багатокутник, менша , так як це коло цілком міститься в даному багатокутнику. Отже:

Будемо тепер необмежено збільшувати число сторін -кутника. Зазначимо, що в такому випадку збільшуватиметься і радіус вписаного в багатокутник кола і при , величина буде як завгодно мало відрізнятися від , а отже, наближатиметься до одиниці, тому . Іншими словами, при необмеженому збільшенні числа сторін багатокутника, вписане в нього коло збігатиметься до описаного кола, тому при . Звідси і з нерівності (1) випливає, що при .

Довжина кола і дуги кола

У своєму повсякденному житті ми часто стикаємося з завданнями, які пов’язані з обчисленням периметра, тобто суми довжин сторін різних геометричних фігур. У разі, якщо геометрична фігура – багатокутник, знаходження його периметра не складає особливих труднощів: для цього достатньо визначити довжину кожної зі сторін і скласти отримані результати. Що ж робити, якщо необхідно знайти довжину кола? Відповіді на це питання і присвячений даний параграф.

Отже, як відомо, периметр будь-якого правильного вписаного в коло багатокутника є наближеним значенням довжини цього кола. Чим більше число сторін такого багатокутника, тим точніше це наближене значення, так як багатокутник при збільшенні числа сторін все ближче і ближче прилягає до кола. Точне значення довжини кола – це границя, до якої збігається периметр правильного вписаного в коло багатокутника при необмеженому збільшенні числа його сторін.

Довжина кола

Знаходження довжини кола з допомогою багатокутників

Скориставшись даним фактом, виведемо формулу, яка дозволить знайти довжину кола через його радіус. Для цього, розглянемо два кола радіус яких дорівнює та відповідно. Впишемо в кожне з них правильний -кутник і позначимо через і їх периметри, а через і їх сторони. Тоді, використовуючи формулу для знаходження сторони правильного багатокутника (), отримаємо:

Периметр і площа трикутника

Трикутник – це одна з базових фігур, утворена трьома відрізками прямих, що перетинаються. Точки перетину називаються вершинами, а самі відрізки сторонами трикутника. У найпростішому випадку, для того щоб знайти периметр трикутника, необхідно знати довжини всіх його стороін. В такому випадку, периметр трикутника обчислюється як сума довжин його сторін: .

В окремому випадку, для рівностороннього трикутника, дана формула прийме наступного вигляду: . Тобто, довжина сторони, помножена на три. Якщо трикутник буде рівнобедреним, то формула може бути записана у вигляді: , де – бічні сторони трикутника і – основа.

Зауваження: якщо скористатись позначеннями , то формули для обчислення периметра різностороннього, рівнобедреного та рівностороннього трикутників перепишуться як відповідно.

Площа трикутника дорівнює половині добутку його сторони та проведеної до неї висоти. Для доведення даного твердження, розглянемо трикутник і його висоту . Покажемо, що .

Площа трикутника

Площа трикутника як половина площі паралелограма

Для цього, через вершини і трикутника проведемо прямі, паралельні сторонам і відповідно. Нехай ці прямі перетинаються в точці . Чотирикутник – паралелограм за означенням. Трикутники і рівні ( та , як протилежні сторони паралелограма і – спільна). Отже, їх площі також рівні. Тоді, площа трикутника дорівнює половині площі паралелограма . Висота трикутника є також висотою паралелограма . Звідси, .