Площа круга та кругового сектора
Нагадаємо, що кругом називається частина площини, обмежена колом. Тобто круг радіуса 
з центром 
містить точку і всі точки площини, що знаходяться від даної точки на відстані, що не більша за .
Знаходження площі круга з допомогою багатокутників
Виведемо формулу, яка дозволить знайти площу круга радіус якого дорівнює . Для цього розглянемо правильний 
-кутник 
, вписаний в коло, що обмежує круг. Очевидно, площа 
даного кола більша площі 
багатокутника , так як він цілком міститься в даному колі. З іншого боку, площа 
кола, вписаного в багатокутник, менша , так як це коло цілком міститься в даному багатокутнику. Отже:
Будемо тепер необмежено збільшувати число сторін -кутника. Зазначимо, що в такому випадку збільшуватиметься і радіус 
вписаного в багатокутник кола і при 
, величина 
буде як завгодно мало відрізнятися від 
, а отже, 
наближатиметься до одиниці, тому 
. Іншими словами, при необмеженому збільшенні числа сторін багатокутника, вписане в нього коло збігатиметься до описаного кола, тому 
при . Звідси і з нерівності (1) випливає, що 
при .
Довжина кола і дуги кола
У своєму повсякденному житті ми часто стикаємося з завданнями, які пов'язані з обчисленням периметра, тобто суми довжин сторін різних геометричних фігур. У разі, якщо геометрична фігура — багатокутник, знаходження його периметра не складає особливих труднощів: для цього достатньо визначити довжину кожної зі сторін і скласти отримані результати. Що ж робити, якщо необхідно знайти довжину кола? Відповіді на це питання і присвячений даний параграф.
Отже, як відомо, периметр будь-якого правильного вписаного в коло багатокутника є наближеним значенням довжини цього кола. Чим більше число сторін такого багатокутника, тим точніше це наближене значення, так як багатокутник при збільшенні числа сторін все ближче і ближче прилягає до кола. Точне значення довжини кола — це границя, до якої збігається периметр правильного вписаного в коло багатокутника при необмеженому збільшенні числа його сторін.
Знаходження довжини кола з допомогою багатокутників
Скориставшись даним фактом, виведемо формулу, яка дозволить знайти довжину кола через його радіус. Для цього, розглянемо два кола радіус яких дорівнює 
та 
відповідно. Впишемо в кожне з них правильний 
-кутник і позначимо через 
і 
їх периметри, а через 
і 
їх сторони. Тоді, використовуючи формулу для знаходження сторони правильного багатокутника (
), отримаємо:
Периметр і площа трикутника
Трикутник — це одна з базових фігур, утворена трьома відрізками прямих, що перетинаються. Точки перетину називаються вершинами, а самі відрізки сторонами трикутника. У найпростішому випадку, для того щоб знайти периметр трикутника, необхідно знати довжини всіх його стороін. В такому випадку, периметр трикутника обчислюється як сума довжин його сторін: 
.
В окремому випадку, для рівностороннього трикутника, дана формула прийме наступного вигляду: 
. Тобто, довжина сторони, помножена на три. Якщо трикутник буде рівнобедренним, то формула може бути записана у вигляді: 
, де 
— бічні сторони трикутника і 
— основа.
Зауваження: якщо скористатись позначеннями 
, то формули для обчислення периметра різносторонноього, рівнобедренного та рівностороннього трикутників перепишуться як 
відповідно.
Площа трикутника дорівнює половині добутку його сторони та проведеної до неї висоти. Для доведення даного твердження, розглянемо трикутник 
і його висоту 
. Покажемо, що 
.
Площа трикутника як половина площі паралелограма
Для цього, через вершини 
і 
трикутника проведемо прямі, паралельні сторонам і 
відповідно. Нехай ці прямі перетинаються в точці 
. Чотирикутник 
— паралелограм за означенням. Трикутники і 
рівні (
та 
, як протилежні сторони паралелограма і 
— спільна). Отже, їх площі також рівні. Тоді, площа трикутника дорівнює половині площі паралелограма . Висота трикутника є також висотою паралелограма . Звідси, .
Види трикутників. Співвідношення між кутами і сторонами трикутника
Трикутником називають геометричну фігуру, складену з трьх відрізків, які з'єднують три точки, що не лежать на одній прямій. Зазначені відрізки називаються сторонами трикутника, а точки — його вершинами. На малюнку що міститься нижче, зображено трикутник 
, де 
— вершини трикутника, і відрізки 
— його сторони.
Різносторонній трикутник
Зауваження: виходячи з того, що сторони трикутника утворюють у його вершинах три кути, то трикутник можна також визначити як багатокутник, у якого є рівно три кути.
Залежно від довжин сторін трикутника (довжин відрізків) та величини кутів між ними, виділяють різні види трикутників. Розглянемо характерні ознаки кожного з них.
Квадрат. Означення квадрата та його властивості
Квадратом називають прямокутник, у якого всі сторони рівні. На рисунку що міститься нижче, зображено квадрат 
діагоналі якого перетинаються в точці 
(діагональ квадрата — це відрізок, що з'єднує протилежні кути квадрата і проходить через його центр).
Зображення квадрата та його діагоналей
З наведеного означення випливає, що квадрат — це ромб, у якого всі кути рівні. Отже, квадрат є окремим видом і ромба і прямокутника. Тому квадрат має всі властивості цих геометричних фігур. Звідси випливає, що: сторони квадрата рівні; усі кути квадрата прямі; діагоналі квадрата рівні, перпендикулярні та є бісектрисами його кутів і, крім того, діагоналі квадрата ділять його на чотири рівні рівнобедрені прямокутні трикутники.
Зауваження: перераховані властивості квадрата являються основними признаками, за якими можна легко його розпізнати серед прямокутників, ромбів та інших чотирикутників.
Площа та периметр прямокутника
Прямокутник — плоска геометрична фігура у вигляді чотирикутника, протилежні сторони якого не тільки паралельні, але і рівні, а всі чотири кута прямі. Для того, щоб знайти периметр прямокутника необхідно обчислити суму довжин кожної з його сторін. Тобто, для прямокутника 
зображеного на рисунку нище, будемо мати: 
, де 
— периметр прямокутника.
Прямокутник ABCD
Проте, виходячи з того, що прямокутник має по дві пари рівних сторін, то при знаходженні периметра достатньо суму довжин двох його суміжних сторін (довжина плюс ширина) помножити на два. Тобто, знову-таки, повертаючись до прямокутника , отримаємо 
.
Зауваження: якщо позначити довжину та ширину прямокутника буквами 
та 
відповідно, то формула периметра прямокутника перепишеться у більш звичній буквенній формі: 
.
Ромб та його властивості
Як нам відомо, прямокутник — це окремий вид паралелограма, який характеризується тим, що його діагоналі рівні. Сьогодні розглянемо характерні властивості ще одного з чотирикутників, який також відносять до класу паралелограмів, але для початку запишемо його визначення. Отже, ромбом називають паралелограм, у якого всі сторони рівні. На рисунку, що міститься нижче зображено ромб 
діагоналі якого перетинаються в точці 
.
Зображення ромба та його діагоналей
З означення випливає, що ромб має всі властивості паралелограма (протилежні кути ромба рівні, діагоналі ромба точкою перетину діляться навпіл) і, крім того, діагоналі ромба перпендикулярні і є бісектрисами його кутів.
Для доведення властивостей, які є притаманними лише ромбу, розглянемо його зображення з рисунка вище, і покажемо, що 
і 
.
Загрузка ...