Мішаний добуток трьох векторів
Нехай дано три вектора ,
і
. Вектор
помножимо векторно на
, векторний добуток
помножимо скалярно на
, в результаті отримуємо число, яке називають векторно-скалярним добутком або мішаним добутком
з трьох векторів
. Мішаний добуток позначається
.
Векторно-скалярний добуток з трьох некомпланарних векторів дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на векторах
, взятому зі знаком плюс, якщо трійка
— права і зі знаком мінус, коли ця трійка — ліва.
Ілюстрація до визначення мішаного добутку
Дійсно, . Тут
— площа паралелограма, побудованого на векторах
та
і
— висота паралелепіпеда. Таким чином,
.
Векторний добуток двох векторів
Векторним добутком двох векторів і
називається третій вектор
, який задовольняє наступним умовам:
- Вектор
перпендикулярний кожному з векторів
і
.
- Довжина вектора
дорівнює площі паралелограмма, побудованого на векторах
та
, тобто
, де
— кут між даними векторами.
- Вектори
,
і
утворюють праву трійку.
Для векторного добутку, так само як і для скалярного добутку, використовуються різні позначення, а саме та
. Ми ж будемо дотримуватися першого з них, тобто
.
Ілюстрація до визначення векторного добутку
Зауваження: некомпланарні вектори , взяті у вказаному порядку, утворюють праву трійку, якщо з кінця вектора
найкоротший поворот від
до
спостерігається проти ходу годинникової стрілки, і ліву трійку, якщо за годинниковою.
Скалярний добуток векторів
Під скалярним добутком двох векторів і
розуміють число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними:
де — менший кут між векторами
та
(
). Разом із символом
в літературі часто використовуються й інші позначення, а саме
або
.
Оскільки проекція вектора на вісь дорівнює його модулю, помноженому на косинус кута нахилу вектора до цієї осі, то маємо:
Тоді, формулу (1) можна переписати у наступному вигляді:
Таким чином, скалярний добуток двох векторів дорівнює довжині одного з них, помноженої на проекцію другого вектора на вісь, напрямок якої визначається першим вектором.
Проекція вектора на вісь
Нехай задано вектор і вісь
. З кінців вектора опустимо перпендикуляри на вісь (точки
та
) і утворимо вектор
.
Проекцією вектора на вісь
називають довжину вектора
, взяту зі знаком «плюс», якщо напрямки вектора
та осі
співпадають, і зі знаком «мінус», якщо вказані напрямки протилежні.
Ілюстрація до визначення проекції вектора на вісь
Проекцію вектора будемо позначати через або
, де
- будь-який ненульовий вектор, що задає напрямок проектування.
Множення вектора на число
Добутком вектора на число
називається вектор
, колінеарний вектору
, який має довжину
і спрямований у той самий бік, що й вектор
, якщо
, і в протилежний, якщо
(для позначення використовують запис
).
Множення вектора на число
Зауваження: якщо вектор заданий своїми координатами
та
, то добуток цього вектора на число
— це вектор
, координати якого дорівнюють відповідним координатам даного вектора
, помноженим на число
:
.
Додавання і віднімання векторів
Нехай і
— два довільних вектори. За допомогою паралельного перенесення приведемо вектор
до довільної точки
, а потім від кінця цього вектора відкладемо вектор
. Сумою цих векторів
буде вектор
, початок якого збігається з початком вектора
, а кінець — із кінцем
(правило трикутника).
Додавання векторів — правило трикутника
Для знаходження суми векторів можна також користуватись правилом паралелограма, згідно з яким вектори
та
приводять до спільного початку (точка
) і будують на цих векторах, як на суміжних сторонах, паралелограм. Тоді його діагональ, що виходить зі спільної вершини
, є сумою векторів
.
Означення вектора. Напрям і модуль вектора
У повсякденній практиці ми маємо справу з величинами двох видів. Одні з цих величин такі, як температура, час, маса, довжина, площа можна визначити одним числовим значенням, інші ж величини, такі, як сила, швидкість, прискорення можна визначити тільки тоді, коли відомо не тільки їх числове значення, а й напрям у просторі. Величини першого виду називають скалярними величинами або скалярами. Величини другого виду називають векторними величинами.
Кожну векторну величину геометрично можна зобразити напрямленим прямолінійним відрізком — вектором, довжина якого дорівнює числовому значенню векторної величини (у вибраному масштабі) і напрям співпадає з напрямом цієї величини.
Ілюстрація до визначення вектора
Вектор визначають двома точками: перша — це початок, друга — його кінець. При цьому, додатним напрямом вектора вважається напрямок від його початкової до кінцевої точки, наприклад, вектор має початок у точці
і кінець у точці
(стрілка вказує напрям вектора).