Площа круга та кругового сектора

Нагадаємо, що кругом називається частина площини, обмежена колом. Тобто круг радіуса з центром містить точку  і всі точки площини, що знаходяться від даної точки на відстані, що не більша за .

Знаходження площі круга з допомогою багатокутників

Виведемо формулу, яка дозволить знайти площу круга радіус якого дорівнює . Для цього розглянемо правильний -кутник , вписаний в коло, що обмежує круг. Очевидно, площа даного кола більша площі багатокутника , так як він цілком міститься в даному колі. З іншого боку, площа кола, вписаного в багатокутник, менша , так як це коло цілком міститься в даному багатокутнику. Отже:

Будемо тепер необмежено збільшувати число сторін -кутника. Зазначимо, що в такому випадку збільшуватиметься і радіус  вписаного в багатокутник кола і при , величина буде як завгодно мало відрізнятися від , а отже, наближатиметься до одиниці, тому . Іншими словами, при необмеженому збільшенні числа сторін багатокутника, вписане в нього коло збігатиметься до описаного кола, тому при . Звідси і з нерівності (1) випливає, що при .

Читати повністю

Довжина кола і дуги кола

У своєму повсякденному житті ми часто стикаємося з завданнями, які пов'язані з обчисленням периметра, тобто суми довжин сторін різних геометричних фігур. У разі, якщо геометрична фігура — багатокутник, знаходження його периметра не складає особливих труднощів: для цього достатньо визначити довжину кожної зі сторін і скласти отримані результати. Що ж робити, якщо необхідно знайти довжину кола? Відповіді на це питання і присвячений даний параграф.

Отже, як відомо, периметр будь-якого правильного вписаного в коло багатокутника є наближеним значенням довжини цього кола. Чим більше число сторін такого багатокутника, тим точніше це наближене значення, так як багатокутник при збільшенні числа сторін все ближче і ближче прилягає до кола. Точне значення довжини кола — це границя, до якої збігається периметр правильного вписаного в коло багатокутника при необмеженому збільшенні числа його сторін.

Довжина кола

Знаходження довжини кола з допомогою багатокутників

Скориставшись даним фактом, виведемо формулу, яка дозволить знайти довжину кола через його радіус. Для цього, розглянемо два кола радіус яких дорівнює  та  відповідно. Впишемо в кожне з них правильний -кутник і позначимо через і їх периметри, а через і їх сторони. Тоді, використовуючи формулу для знаходження сторони правильного багатокутника (), отримаємо:

Читати повністю

Периметр і площа трикутника

Трикутник — це одна з базових фігур, утворена трьома відрізками прямих, що перетинаються. Точки перетину називаються вершинами, а самі відрізки сторонами трикутника. У найпростішому випадку, для того щоб знайти периметр трикутника, необхідно знати довжини всіх його стороін. В такому випадку, периметр трикутника обчислюється як сума довжин його сторін: .

В окремому випадку, для рівностороннього трикутника, дана формула прийме наступного вигляду: . Тобто, довжина сторони, помножена на три. Якщо трикутник буде рівнобедренним, то формула може бути записана у вигляді: , де  — бічні сторони трикутника і  — основа.

Зауваження: якщо скористатись позначеннями , то формули для обчислення периметра різносторонноього, рівнобедренного та рівностороннього трикутників перепишуться як  відповідно.

Площа трикутника дорівнює половині добутку його сторони та проведеної до неї висоти. Для доведення даного твердження, розглянемо трикутник і його висоту . Покажемо, що .

Площа трикутника

Площа трикутника як половина площі паралелограма

Для цього, через вершини і трикутника проведемо прямі, паралельні сторонам  і відповідно. Нехай ці прямі перетинаються в точці . Чотирикутник  — паралелограм за означенням. Трикутники  і рівні ( та , як протилежні сторони паралелограма і  — спільна). Отже, їх площі також рівні. Тоді, площа трикутника дорівнює половині площі паралелограма . Висота  трикутника  є також висотою паралелограма . Звідси, .

Читати повністю

Види трикутників. Співвідношення між кутами і сторонами трикутника

Трикутником називають геометричну фігуру, складену з трьх відрізків, які з'єднують три точки, що не лежать на одній прямій. Зазначені відрізки називаються сторонами трикутника, а точки — його вершинами. На малюнку що міститься нижче, зображено трикутник , де  — вершини трикутника, і відрізки  — його сторони.

Різносторонній трикутник, тупокутний трикутник

Різносторонній трикутник

Зауваження: виходячи з того, що сторони трикутника утворюють у його вершинах три кути, то трикутник можна також визначити як багатокутник, у якого є рівно три кути.

Залежно від довжин сторін трикутника (довжин відрізків) та величини кутів між ними, виділяють різні види трикутників. Розглянемо характерні ознаки кожного з них.

Читати повністю

Квадрат. Означення квадрата та його властивості

Квадратом називають прямокутник, у якого всі сторони рівні. На рисунку що міститься нижче, зображено квадрат діагоналі якого перетинаються в точці (діагональ квадрата — це відрізок, що з'єднує протилежні кути квадрата і проходить через його центр).

Властивості квадрата

Зображення квадрата та його діагоналей

З наведеного означення випливає, що квадрат — це ромб, у якого всі кути рівні. Отже, квадрат є окремим видом і ромба і прямокутника. Тому квадрат має всі властивості цих геометричних фігур. Звідси випливає, що: сторони квадрата рівні; усі кути квадрата прямі; діагоналі квадрата рівні, перпендикулярні та є бісектрисами його кутів і, крім того, діагоналі квадрата ділять його на чотири рівні рівнобедрені прямокутні трикутники.

Зауваження: перераховані властивості квадрата являються основними признаками, за якими можна легко його розпізнати серед прямокутників, ромбів та інших чотирикутників.

Читати повністю

Площа та периметр прямокутника

Прямокутник — плоска геометрична фігура у вигляді чотирикутника, протилежні сторони якого не тільки паралельні, але і рівні, а всі чотири кута прямі. Для того, щоб знайти периметр прямокутника необхідно обчислити суму довжин кожної з його сторін. Тобто, для прямокутника зображеного на рисунку нище, будемо мати: , де  — периметр прямокутника.

Периметр прямокутника

Прямокутник ABCD

Проте, виходячи з того, що прямокутник має по дві пари рівних сторін, то при знаходженні периметра достатньо суму довжин двох його суміжних сторін (довжина плюс ширина) помножити на два. Тобто, знову-таки, повертаючись до прямокутника , отримаємо .

Зауваження: якщо позначити довжину та ширину прямокутника буквами та відповідно, то формула периметра прямокутника перепишеться у більш звичній буквенній формі: .

Читати повністю

Ромб та його властивості

Як нам відомо, прямокутник — це окремий вид паралелограма, який характеризується тим, що його діагоналі рівні. Сьогодні розглянемо характерні властивості ще одного з чотирикутників, який також відносять до класу паралелограмів, але для початку запишемо його визначення. Отже, ромбом називають паралелограм, у якого всі сторони рівні. На рисунку, що міститься нижче зображено ромб діагоналі якого перетинаються в точці .

Властивості ромба

Зображення ромба та його діагоналей

З означення випливає, що ромб має всі властивості паралелограма (протилежні кути ромба рівні, діагоналі ромба точкою перетину діляться навпіл) і, крім того, діагоналі ромба перпендикулярні і є бісектрисами його кутів.

Для доведення властивостей, які є притаманними лише ромбу, розглянемо його зображення з рисунка вище, і покажемо, що і .

Читати повністю

Наступна сторінка »