Рівняння прямої у відрізках

Нехай зададані абсциса точки перетину прямої з віссю і ордината точки перетину прямої з віссю . Іншими словами, зададані відрізки і , які пряма відсікає на координатних осях. При цьому передбачається, що пряма не паралельна жодної з осей системи координат і не проходить через її початок. За даними параметрами і складемо рівняння прямої.

rivnjannja_prjamoi_u_vidrizkah262

Побудова рівняння прямої у відрізках

Для цього застосуємо рівняння прямої в загальному вигляді , в якому жоден з коефіцієнтів , і не дорівнює нулю (інакше побудова рівняння прямої у відрізках стає неможливою). Тоді, загальному рівнянню прямої мають задовільняти обидві точки та з координатами і відповідно. Підставивши їх координати в загальне рівняння отримаємо:

Читати повністю

Загальне рівняння прямої на площині

При розгляді рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом ми бачили, що воно приймає вигляд , якщо пряма не паралельна осі , або , якщо паралельна осі ординат. Кожне з цих рівнянь є рівняння першої степені щодо поточних координат. Тому твердження про те, що рівняння прямої лінії в декартовій системі координат є рівнянням першої степені можна вважати доведеним.

Сьогодні покажемо, що має місце зворотнє твердження, а саме, будь-яке рівняння першої степені щодо поточних координат є рівняння прямої. Для цього, запишемо рівняння наступного вигляду:

для якого розглянемо два можливих випадки:

  1. Нехай . Тоді рівняння (1) рівносильне рівнянню . Розглянемо далі пряму, що відсікає на осі відрізок і утворює з віссю такий кут , для якого . Для такої прямої рівняння (2) буде рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом. Це означає, що рівняння (2), а отже, і рівняння (1), є рівнянням прямої.
  2. Нехай тепер . Тоді рівняння (1) прийме наступного вигляду . Відмітимо, що при цьому, так як інакше ми мали б не рівняння, а тотожність . Тому рівняння (3) рівносильне рівнянню . Але це рівняння є рівнянням прямої, паралельної осі ординат і яка проходить через точку . Тобто, рівняння (3) є рівносильне рівнянню (4), і його також можна приймати в якості рівняння цієї прямої.

Читати повністю

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

В курсі аналітична геометрія існує декілька типів рівнянь прямої на площині. В залежності від умови задачі, для зручності її розв'язку, використовують той чи іншим тип. Сьогодні розглянемо перший з них, а саме рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Отже, нехай дано кут , який утворює пряма  з віссю , і ордината точки перетину прямої з віссю (цю ординату також називають відрізком, який пряма відсікає на осі ). Відмітимо, що заданими величинами (параметрами) пряма цілком визначена. Знайдемо рівняння цієї прямої.

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Графічне представлення алгоритму знаходження рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Для цього, візьмемо довільну точку на прямій (праворуч від точки ) та проведемо два відрізка  і  паралельно координатним осям  та  відповідно. В результаті виконання даного кроку ми отримали прямокутник , який, як видно з побудови, являється прямокутним. А виходячи з того, що у прямокутному трикутнику тангенс гострого кута дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого, будемо мати:

Читати повністю

Площа трикутника заданого координатами своїх вершин

Нехай дано трикутник з координатами вершин . Необхідно знайти площу даного трикутника.

Площа трикутника

Графічне представлення алгоритму обчислення площі трикутника

Для цього, на першому кроці, опустимо перпендикуляри з вершин на вісь . В результаті виконання даного кроку, ми отримали деяку фігуру, яка складається з трапецій та . Тоді, шуканий трикутник отримаємо шляхом видалення із даної фігури трапеції . Скориставшись формулою обчислення площі трапеції, а саме  (де  — основи,  — висота), будемо мати:

Читати повністю

Задача про центр мас однорідного трикутника

Після того, як формули обчислення координатів середини відрізка та формули поділу відрізка у заданому відношенні відомі, покажемо, яким чином, з їх допомогою розв'язується задача про координати центра мас однорідного трикутника. Для цього, розглянемо деякий трикутник з наступними координатами вершин: .

Графічне представлення алгоритму знаходження координатів центру мас однорідного трикутника

Відмітимо, що центром мас трикутника, називається деяка точка , координати якої співпадають з координатами точки перетину його медіан. За відомою властивістю, точка перетину медіан поділяє кожну медіану у відношенні , починаючи з вершини. Розглянемо, наприклад, медіану . Знайдемо координати точки , як середину сторони . В результаті будемо мати:

Читати повністю

Координати середини відрізка

Нехай дано точки і . Необхідно знайти точку , що поділяє відрізок навпіл, тобто .

Середина відрізка

Графічне представлення алгоритму знаходження координатів середини відрізка

Для цього, побудуєом два трикутники і . Вони рівні за стороною і двома кутами, а тому . Записавши дану рівність у координатній формі отримаємо лінійне рівняння , розв'язком якого буде вираз для обчислення координати , середини відрізка :

Читати повністю

Поділ відрізка у заданому відношенні

Нехай дано точки і та додатні числа і . Необхідно знайти точку , що поділяє відрізок у відношенні , тобто .

Поділ відрізка

Графічне представлення алгоритму поділу відрізка у заданому відношенні

Для цього, на першому кроці, побудуємо трикутники і . Вони подібні за двома кутами, а тому . Звідси, виходячи з того, що  і , та скориставшись формулою (1), отримаємо:

Читати повністю

« Попередня сторінкаНаступна сторінка »