Категорія: Алгебра матриць

Псевдообернена матриця. Обертання прямокутних та вироджених матриць

В попередніх параграфах для квадратної невиродженої матриці розглядалася обернена матриця . Якщо ж матриця  прямокутна або квадратна, але вироджена, то вона немає класичної оберненої матриці. Однак в цьому випадку може бути введено поняття узагальненої оберненої матриці , яка має деякі властивості оберненої та використовується при вирішенні деяких систем лінійних алгебраїчних рівнянь. У разі, коли  – квадратна невироджена матриця, узагальнена обернена матриця збігається з оберненою матрицею .

Узагальненою оберненою (псевдооберненою) матрицею для прямокутної матриці  з розмірами називають єдину матрицю, що задовольняє чотирьом умовам:

де означає перехід до сполученої матриці.

Читати далі

Метод окантування для знаходження оберненої матриці

У цьому параграфі розглянемо обчислювальну схему для знаходження оберненої матриці основану на ідеї окантування. Для цього, задану матрицю будемо розглядати як результат окантування матриці -го порядку, для якої вважається, що  обернена матриця являється відомою. Тобто:

Тут позначає згадуану вище матрицю-го порядку, а .

Тоді, матрицю також шукатимемо у вигляді окантованої матриці:

де – матриця порядку , – вектор-рядок, – вектор-стовпець і  – число, яке нам потрібно визначити. За правилом множення окантованих матриць маємо:

Читати далі

Знаходження оберненої матриці використовуючи метод розбиття на клітини

Іноді буває доцільно, при знаходженні оберненої матриці, попередньо розбити її на клітини. Розглянемо даний процес більш детально. Для цього, на першому кроці, розіб’ємо матрицю  порядку  на чотири клітини, використовуючи для цього наступну схему:

obernena_matrrozb_na_klitku7

де в дужках вказані порядки відповідних клітин, причому . Після цього, обернену матрицю до заданої будемо шукати у вигляді матриці, яка також складається з чотирьох клітин. Тобто:

obernena_matrrozb_na_klitku8

Скориставшись означенням оберненої матриці, а саме , перемножимо матриці (1) та (2). В результаті отримаємо чотири матричних рівняння:

Читати далі

Знаходження оберненої матриці використовуючи коефіцієнти її характеристичного многочлена

Нехай маємо деяку невироджену матрицю розмірності , для якої характеристичний многочлен запишемо у наступному вигляді:

Покажемо, яким чином з допомогою коефіцієнтів цього характеристичного многочлена та послідовності маириць , порівняно просто можна знайти обернену матрицю . Для цього, скориставшись теоремою Гамільтона-Келі (при підстановці матриці в її характеристичний многочлен, виходить нульова матриця, іншими словами, матриця являетса коренем свого характеристичного многочлена), отримаємо:

Помноживши матричну рівність (1) на  зліва, отримуємо:

Читати далі

Означення матриці. Основні операції над матрицями

Матрицею Матриці. Дії над матрицями розмірності matrix2 називається таблиця чисел, яка складається з matrix4 рядків та matrix5 стовпців.

matrix6

Числа, що складають матрицю, називаються її елементами і нумеруються двома індексами, які вказують на номер рядка та стовпця на перетині яких розташований даний елемент. Тобто, елемент matrix7міститься в matrix8-му рядку та matrix9-му стовпці матриці Матриці. Дії над матрицями.

Наприклад, для матриці matrix10, розмірності matrix11, елемент matrix12 а елемент matrix13.

Читати далі

Ранг матриці. Обчислення рангу матриці за методом обвідних мінорів та методу елементарних перетворень

Розглянемо матрицю Ранг матриці розмірності Ранг матриці. В даній матриці виділимо будь-яких Ранг матриці рядкуів і таку саму кількість стовпців. Відмітимо, що число Ранг матриці не повинно перевищувати загальну кількість рядків та стовпців заданої матриці, тобто Ранг матриці. Визначник, який утворится з елементів, що стоять на перетині виділених Ранг матриці рядків та стовпців називається мінором Ранг матриці-го порядку матриці Ранг матриці. Найбільший з порядків відмінних від нуля мінорів називається рангом матриці Ранг матриці. З даного означення випливають наступні властивості рангу:

  1. Ранг прямокутної матриці Ранг матриці розмірності Ранг матриці не перевищує меншого із двох чисел і Ранг матриці, тобто Ранг матриці.
  2. Ранг матриці Ранг матриці дорівнює нулю (Ранг матриці) тоді і тільки тоді, коли матриця нульова. В інших випадках ранг матриці рівний деякому додатному числу.
  3. Для квадратної матриці Ранг матриці-го порядку ранг дорівнює Ранг матриці тоді і тільки тоді, коли матриця невироджена, тобто коли її визначник відмінний від нуля.

Серед методів визначення рангу матриці виділяють два: метод обвідних мінорів і, такзваний, метод елементарних перетворень. Розглянемо спочатку алгоритм першого з них.

Отже, на першому кроці, знаходимо будь-який, відмінній від нуля, мінор першого порядку (). Якщо такого мінора немає, то матриця являється нульовою і, як зазначалося вище, ранг такої матриці рівний нулю. Якщо ж серед мінорів першого порядку існує хоча б один відмінний від нуля, то переходимо до дослідження мінорів другого порядку, які містять в собі rang_matrici10 (обводять rang_matrici10) і робимо це до тих пір, поки не знайдем мінор rang_matrici111 відмінний від нуля. Якщо такого мінора немає, то rang_matrici12. В іншому випадку, досліджуємо мінори третього, четвертого і так далі порядків і таким чином переходимо до обчислення, якщо вони існують, мінорів rang_matrici14-го порядку, які обводять мінор rang_matrici15. Якщо таких мінорів немає, або вони всі дорівнюють нулю, то Ранг матриці. Якщо ж хоча б один мінор rang_matrici16, то rang_matrici17, тобто ітераційний процес методу обвідних мінорів необхідно продовжувати далі.

Читати далі

Знаходження оберненої матриці з допомогою алгебраїчних доповненень

Нехай Знаходження оберненої матриці – квадратна матриця obernena_matr2-го порядку. Квадратна матриця obernena_matr3, також obernena_matr2-го порядку, називається оберненою до Знаходження оберненої матриці, якщо obernena_matr4. Нагадаємо, що для будь-якої квадратної матриці існує обернена, при чому єдина, в тому випадку, коли вона являється невиродженою, тобто визначник даної матриці відмінний від нуля.

Для знаходження оберненої матриці будемо використовувати наступний алгоритм:

  1. З допомогою методу Гаусса чи методу розкладу визначника, знаходимо детермінант матриці obernena_matr5.
  2. Знаходимо транспоновану матрицю obernena_matr6 (отримують з вихідної матриці шляхом заміни її рядків на стовпці).
  3. Для кожного елемента транспонованої матриці обчислюємо алгебраїчні доповнення (алгебраїчне доповнення елемента – це мінор, взятий зі знаком “+” якщо сума номера рядка і стовпця елемента парне число, і зі знаком “-” – у протилежному випадку, де мінор елемента матриці – це визначник (n-1)-го порядку, який утворюється з початкового визначника, шляхом закреслення рядка та стовпця, в яких міститься даний елемент).
  4. На наступному кроці, знаходимо обернену матрицю використовуючи наступну формулу:

Читати далі

Обчислення визначників вищих порядків за схемою розкладу визначника по рядку чи стовпці

Перш ніж приступити до розгляду формули для обчислення визначників розмірність яких перевищує три, давайте пригадаємо, яким чином їх знаходять для матриць менших розмірностей. Отже, визначником матриці другого порядку називається число, яке записується і обчислюється наступним чином:

тобто, від добутку елементів, що стоять на головній діагоналі, віднімаємо добуток елементів бічної дівгоналі.

Визначником матриці третього порядку називається число, яке зазвичай обчислюється за правилом трикутника, а саме: визначник третього порядку дорівнює сумі добутків елементів, що стоять на головній діагоналі, та двох трикутниках, які будуємо так, щоб одна із сторін була паралельна головній діагоналі і всі елементи якого повинні бути у різних рядках та стовпцях. Після цього, від даної суми віднімається сума добутків елементів, що розташовані на бічній діагоналі та на двох трикутниках, які будуємо так, щоб одна із сторін трикутника була паралельна бічній діагоналі, та всі елементи були на різних рядках та стовпцях. Дане правило описується насутпною формулою:

Читати далі

Знаходження оберненої матриці методом Гаусса

Як нам відомо, метод Гаусса являється універсальним та найбільш використовуваним інструментом при рішенні систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Проте це не єдина задача, для розв’язку якої використовується цей метод. У даному параграфі продемостріруємо застосування методу виключення невідомих Гаусса при обчисленні оберненої матриці (оберненою називається матриця, при множенні на яку вихідна матриця перетворюється на одиничну, тобто ). Практично цей найбільш простий спосіб обчислення оберненої матриці полягає в наступному: якщо взяти одиничну матрицю і провести над нею елементарні перетворення, які приводять квадратну невироджену марицю до одиничної, то в результаті матриця  перетвориться на обернену матрицю до матриці .

Розглянемо алгоритм приведення матриці  порядку до одиничної більш детально.

Отже, на першому етапі (прямий хід методу Гаусса), приведемо матрицю  до верхньої трикутної, елементи головної діагоналі якої рівні одиниці. Для цього, на першому кроці, помножемо перший рядок матриці  на число . В результаті отримаємо матрицю, елемент якої рівний одиниці. Далі, від елементів другого рядка віднімаємо відповідні елементи першого рядка помножені на , від елементів третього віднімаємо елементи першого рядка помножені на і так далі. На -му кроці від елементів го рядка віднімаємо елементи першого, помножені на . Зазначимо, що після виконання цих дій, матриця  прийме наступного вигляду:

Читати далі

Обчислення елементів оберненої матриці за допомогою розв’язку відповідних систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Ми вже знаємо, що матриці можна додавти і множити. У цьому сенсі вони схожі на числа. Проте, числа можна ще й ділити. Виявляється, що у матричному численні існує операція, що відповідає операції ділення в арифметиці, яку пов’язують з поняттям оберненої матриці. Розглянемо дане поняття більш детально. Отже, всім відома проста залежність, яку можна представити у наступному вигляді:

Ця залежність означає, що добуток будь-якого числа на обернене йому число дорівнює одиниці. У матричній алгебрі існує аналогічний зв’язок. Якщо матриця квадратна і невироджена (матриця, визначник якої відмінний від нуля), то для неї існує матриця, що позначається символом і називається оберненою матрицею до матриці , для якої справедлива наступна рівність:

Тобто, матриця , в деякому сенсі, аналогічна оберненому числу в арифметиці, проте процес обчислення оберненої матриці дещо складніший. Опишемо один з можлививх варіантів даного процесу, який базується на тому, що матриця  є розв’язком матричного рівняння , де .

Читати далі