Інтерполяційна схема Ейткена
Нехай функція і розташування вузлів
на відрізку інтерполяції
такі, що інтерполяціний процес має збіжність. І нехай потрібно знайти не загальний вираз
, а лише його значення при конкретних
, тобто вирішується задача обчислення окремих наближених значень функції
за допомогою обчислення відповідних їм значень інтерполяційного многочлена Лагранжа
. Розглянемо даний процес більш детально і побудуємо обчислювальну схему для отримання наближеного значення таблично заданої функції
в заданій точці
, в основу якої буде покладена інтерполяція Лагранжа на сітці вузлів
. Організація обчислень за цією схемою матиме ітераційний характер, кожен крок якої полягає в обчисленні деякого визначника другого порядку.
Нехай дано дві точки на кривій :
і
. Побудуємо функцію
:
Тобто збігається з інтерполяційним многочленом Лагранжа першої степені, побудованим за двома даними точкам. Побудуємо через визначник функцію
для точок
та
:
Вона теж є многочленом Лагранжа першої степені, побудованим по двох точках і
. Відмітимо, що аналогічним чином ми можемо побудувати функції
,
і так далі.
Якщо на кривій задані три точки
,
та
, то, використовуючи введені лінійні функції
і
, утворюємо нову функцію:
Покажемо, що ця функція є многочлен другої степені. Враховуючи що , підставимо в
, по черзі, значення
, отримаємо:
. Тобто, функція
— це многочлен другої степені, який вирішує задачу параболічної інтерполяції по трьох точках
,
та
. Виходячи з того, що такий многочлен єдиний, робимо висновок, що
, де
— многочлен Лагранжа.
Продовжуючи даний процес далі, отримаємо послідовність інтерполяційних многочленів Лагранжа, яка становить суть інтерполяційної схеми Ейткена:
Схема Ейткена легко реалізується на ЕОМ. Організація обчислень за формулою (1) повинна бути така, що якщо заздалегідь невідома степінь інтерполяційного многочлена, який потрібно використовувати для обчислення , то має відбуватися поступове підвищення степені інтерполяційних многочленів за рахунок підключення нових вузлів. Рахунок ведеться до тих пір, поки йде уточнення наближеного значення
, тобто поки величина
спадає. Також відмітимо, що обчислювальний процес інтерполяційної схеми Ейткена зазвичай оформляється у вигляді наступної таблиці:

Інтерполяційної схеми Ейткена
Інтерполяція функції використовуючи схему Ейткена — приклад:
Нехай деяка функція задана таблицею своїх значень:

Таблиця фіксованих значень функції
Розглянемо процес обчислення наближеного значеня цієї функції, за схемою Ейткена, в точці . Для цього, скориставшись формулою (1) побудуємо таблицю наступного виду (інтерполяційна схема Ейткена):

Інтерполяційної схеми Ейткена для обчислення наближеного значення в точці x=-0.5
Виходячи з того, що точка в якій ми обчислюємо наближене значення розташована між вузлами та
, то доцільно в якості основної послідовності значень многочленів Лагранжа брати рядок таблиці, який відповідає значенню
, тобто в якості наближених значень будемо брати числа
. Обчисливши модуль різниці між попередніми і наступними числами цього рядка, а саме:
, бачимо, що після обчислення третього наближення, а саме
різниця перестала зменшуватися. Тобто подальший рахунок немає змісту і отримати більш точне значення заданої функції
в точці
, ніж
не вдасться (
).