Інтерполяційна формула Ньютона для нерівновіддалених значень аргументу

Якщо таблиця значень функції дана не з постійним кроком, тобто проміжки між суміжними значеннями аргументу різні в різних місцях таблиці, то різниці між суміжними значеннями функції не можуть служити для опису зміни даної функції. В такому випадку для цього використовують величини, яку називають розділеними різницями.

Нехай функція  задана таблично:

njyton_interpolnerivn2

Таблиця фіксованих значень функції

де . Розділеною різницею першого порядку двох табличних значень називається відношення різниці значень функції до різниці відповідних значень аргументу. Це визначення застосовне для будь-якої пари значень аргументу, але зазвичай використовується для суміжних значень. Позначення розділених різниць першого порядку будуються так, щоб були вказані взяті табличі значення аргументу. Так, для приведеної вище таблиці розділені різниці першого порядку позначаються та обчислюються наступним чином:

njyton_interpolnerivn4

Розділеною різницею другого порядку двох табличних значень називається відношення різниці двох розділених різниць першого порядку, наприклад (3-го, 2-го) і (2-го, 1-го), табличних значень до різниці між 3-м та 1-м значенням аргументу. Формально визначення застосовне до довільних трьох табличним значенням, але на практиці зазвичай беруть три суміжних значення. Скориставшись позначеннями, які були дані для різниць 1-го порядку, запишемо розрахункові формуля для обчислення різниць 2-го порядку:

Аналогічно чином можна визначити розділені різниці будь-якого порядку, наприклад, розділені різниці -го порядку визначаються з допомогою розділених різниць -го порядку наступним чином:

Зауваження: на практиці, розділені різниці зазвичай записуються в таблицю наступного виду:

Таблиця розділених різниць

Таблиця розділених різниць

Після того, як визначення розділених різниць відоме, покажемо, яким чином користуючись даними величинами, інтерполяційну формулу Лагранжа можна представити у вигляді, аналогічному першій інтерполяційній формулі Ньютона. Проте, перш ніж приступити до цього,  розглянемо наступну лему.

Лема. Якщо являється поліномом -ї степені, то його розділена різниця -го порядку тотожно дорівнює нулю, тобто , для будь-якої системи різних між собою чисел .

Дійсно, якщо  — поліном -ї степені, то

є поліномом -ї степені відносно . Далі,

являє собою поліном -ї степені відносно . Справді, функція має корінь і, отже, на підставі теореми Безу, поліном без залишку ділиться на двочлен .

За допомогою аналогічних міркувань переконуємося, що є поліномом нульової степені, тобто . Звідси

Нехай тепер  — поліном Лагранжа степені  такий, що , де  — задана функція. Позначимо через послідовні розділені різниці полінома . В результаті отримаємо:

крім того, на підставі вище розглянутої леми будемо мати .

За визначенням отримуємо:

Далі, скориставшись означенням розділениз різниць, будемо мати:

Використовуючи формулу (8), з формули (7) послідовно виводимо:

або, враховуючи рівності (5) і (6), отримуємо кінцевий варіант інтерполяційої формули Ньютона для нерівновіддалених значень аргументу:

Інтерполяційна формула Ньютона для нерівновіддалених значень аргументу— приклад:

Для функції  заданої таблично скласти інтерполяційний поліном Ньютона та з допомогою даного полінома обчислити значення функції в точці .

Таблиця фіксованих значень функції

Таблиця фіксованих значень функції

Для цього, на першому кроці, скориставшись формулою (3), побудуємр таблицю розділених різниць. Для даної задачі вона прийме наступного вигляду:

Таблиця розділених різниць задачі

Таблиця розділених різниць задачі

Після цього, використовуючи формулу (9), запишемо інтерполяційний поліном Ньютона:

в який, підставляючи значення , отримаємо наближене значення функції в точці відмінній від заданих:

Блок-схема інтерполяційної формули Ньютона для нерівновіддалених значень аргументу

njyton_interpolnerivn47

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар