Інтерполяція функції використовуючи формулу Бесселя

Для виводу інтерполяційної формули Бесселя візьмемо Інтерполяційна формула Бесселя рівновіддалених вузли інтерполяції stirling_interpolation4 з кроком Інтерполяційна формула Бесселя, і нехай Інтерполяційна формула Бесселя задані значення функції в даних вузлах.

Після цього, скориставшись другою інтерполяційною формулою Гаусса, в якості початкового наближення для якої взявши значення Інтерполяційна формула Бесселя та Інтерполяційна формула Бесселя, отримаємо:

stirling_interpolation31

Далі, за початкове наближення візьмемо значення Інтерполяційна формула Бесселя. Тоді Інтерполяційна формула Бесселя, причому відповідно індекси всіх різниць в правій частині формули (1) виростуть на одиницю. Замінивши в правій частині (1) stirling_interpolation12 на stirling_interpolation13 і збільшивши індекси всіх скінченних різниць на 1, отримаємо допоміжну інтерполяційну формулу:

stirling_interpolation32

Взявши середнє арифметичне формул (1) і (2) отримуємо інтерполяційну формулу Бесселя:

stirling_interpolation33

де Інтерполяційна формула Стірлінга.

В отриманій формулі Бесселя всі члени, які складаються з скінченних різниць непарного порядку містять множник stirling_interpolation16, внаслідок цього можна зробити висновок, що якщо в якості stirling_interpolation12 взяти значення stirling_interpolation17, то таким чином можна значно спростити формулу (3) і отримати окремий випадок формули Бесселя, яка носить назву інтерполяційної формулт на середину.

stirling_interpolation18

Інтерполяційна формула Бесселя — приклад:

Для функції заданаї таблично, знайти наближене значення в точцці stirling_interpolation221, використовуючи при цьому інтерполяційну формулу Бесселя.

stirling_interpolation36

Таблиця фіксованих значень функції

Для цього, на першому кроці, побудуємо таблицю скінченних різниць:

stirling_interpolation37

Таблиця скінченних різниць задачі

Далі, прийнявши stirling_interpolation24 і stirling_interpolation251інтерполяційна формула Бесселя (3) прийме наступного вигляду:

stirling_interpolation38

Поклавши в даній формулі stirling_interpolation27 знаходимо наближене значення функції в точці stirling_interpolation221.

stirling_interpolation39

Блок-схема програмної реалізації інтерполяційної формули Бесселя:

Інтерполяційна формула Бесселя

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар