Інтерполяція функції тригонометричними поліномами

Нехай Інтерполяція тригонометричними поліномами періодична і задана на осі trigonometric_interpolation2 функція. Шляхом лінійної заміни незалежної змінної період функції можна зробити рівним trigonometric_interpolation3. У цьому випадку задану функцію доцільно інтерполювати тригонометричним поліномом:

trigonometric_interpolation5

таким що trigonometric_interpolation6, де trigonometric_interpolation7 точки з проміжку trigonometric_interpolation8. Поліном trigonometric_interpolation9 будемо називати тригонометричним поліномом порядку trigonometric_interpolation10.

Нехай trigonometric_interpolation11. Необхідно підібрати коефіцієнти полінома таким чином, щоб виконувались наступні рівності:

trigonometric_interpolation12

Тобто ми отримали систему рівнянь із trigonometric_interpolation13 невідомими trigonometric_interpolation14. Як відомо, визначник даної системи відмінний від нуля, тому дана інтерполяційна задача має роз'язок, причому єдиний.

trigonometric_interpolation25

Для побудови полінома trigonometric_interpolation9 візьмемо довільну точку trigonometric_interpolation16, значення якої не збігається із значеннями вузлів trigonometric_interpolation17, і для цих trigonometric_interpolation18 точок побудуємо систему з trigonometric_interpolation18 лінійних і однорідних щодо коефіцієнтів trigonometric_interpolation19 при trigonometric_interpolation20 та trigonometric_interpolation22 рівнянь:

trigonometric_interpolation21

Отримана система має ненульовий розв'язок, і тому її визначник дорівнює нулу, тобто:

trigonometric_interpolation23

Розкладаючи його по елементах першого стовпця і розвя'зуючи відносно trigonometric_interpolation9, отримаємо:

trigonometric_interpolation29

Таким чином ми отримали тригонометричний поліном порядку trigonometric_interpolation10, який задовільняє умовам trigonometric_interpolation6.

Інтерполяція функції тригонометричним поліномом — приклад:

Нехай маємо деяку періодичну функцію заданаї таблично:

Таблиця фіксованих значень функції

Таблиця фіксованих значень функції

Для даної функції знайдемо наближене значення в точцці trigonometric_interpolation31, використовуючи для цього вище розглянутий тригонометричний інтерполяційний поліном (4). В результаті будемо мати:

Блок-схема алгоритму інтерполяції функції тригонометричним поліномом

Тригонометрична інтерполяція алгоритм

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар