Площа паралелограма – це область, охоплена паралелограмом у двовимірній площині.
Паралелограм – це двовимірна фігура з чотирма сторонами і може розглядатися як окремий випадок чотирикутника. Сума внутрішніх кутів паралелограма дорівнює 360 градусів. Крім того, паралелограм має дві пари паралельних сторін з однаковими розмірами. Оскільки це двовимірна фігура, вона має площу та периметр.
Тут ми дізнаємося про методи, за допомогою яких можна обчислити площу паралелограма. Розглянемо формули для обчислення площі та застосуємо їх для вирішення деяких задач.
Навігація по сторінці.
Як знайти площу паралелограма.
Площа паралелограма дорівнює добутку будь-якої його сторони на висоту, яка проведена до цієї сторони.
На рисунку, що міститься вище, зображено паралелограм , висота якого проведена до сторін та . Покажемо, що , де – площа паралелограма .
Для цього, проведемо ще одну висоту . В результаті отримаємо чотирикутник , який, виходячи з того що всі його кути прямі, являється прямокутником. Покажемо, що даний прямокутник є рівновеликим паралелограму .
Отже, як видно з рисунка, площа паралелограма дорівнює сумі площ трикутника і трапеції . Площа прямокутника дорівнює сумі площ зазначеної трапеції та трикутника .
Проте, трикутники та рівні за гіпотенузою та гострим кутом (відрізки і рівні як протилежні сторони паралелограма, кути і рівні як різносторонні при паралельних прямих і та січній ).
Звідси, паралелограм та прямокутник рівновеликі. Отже, скориставшись означенням площі прямокутника (дорівнює добутку довжин сторін та ) отримаємо формулу для обчислення площі паралелограма: .
Зауваження: якщо позначити довжини сторони паралелограма та проведеної до неї висоти буквами та відповідно, то знайти площу паралелограма, можна скориставшись наступною формулою: .
Площа паралелограма через діагоналі
Розглянемо також загальний для всіх чотирикутників випадок, коли відомими є величини двох діагоналей і градусна міри кута, який вони між собою утворюють.
Зазначимо, що цими даними можна скористатися і для знаходження площі паралелограма. У цьому випадку формула матиме такий вигляд (оскільки , то в якості кута між діагоналями можна брати будь-який кут – як гострий, так і тупий):
Зауваження: позначивши довжини діагоналей паралелограма буквами та відповідно, формулу площі паралелограма перепишемо в більш звичній буквенній формі:
Площа паралелограма – приклади з відповідями.
Розглянуті вище способи обчислення площі паралелограма використовуються для рішення наступних прикладів. Кожен приклад має відповідь, але рекомендуємо спробувати розв’язати приклади самостійно, перш ніж дивитися відповідь.
Приклад 1: паралелограм має основу довжиною і висоту . Яка площа паралелограма?
Отже, за умовою маємо, що основа та висота паралелограма дорівнюють і відповідно. Використавши формулу площі із заданими значенням матимемо:
Таким чином, площа паралелограма дорівнює .
Приклад 2: чому дорівнює площа паралелограма з основою і висотою ?
Зазначимо, що у цьому випадку основа та висота паралелограма рівні та . Тому, замінивши та у формулі площі заданим значенням отримаємо:
Отже, площа паралелограма дорівнює .
Приклад 3: площа паралелограма дорівнює , а довжини його висот і . Знайти периметр паралелограма.
Виходячи з того, що площа паралелограма дорівнює добутку будь-якої його сторони на висоту, матимемо:
Отже, периметр паралелограма дорівнює: .
Приклад 4: діагоналі паралелограма дорівнюють та . Градусна міра кут , який вони між собою утворюють дорівнює 30 градусів. Знайти площу паралелограма.
Відповідно до формули через діагоналі, для шуканої площі матимемо:
Звідси, площа паралелограма дорівнює .
Приклад 5: знайти площу паралелограма, якщо відомо, що його сторони дорівнюють та відповідно і .
Для цього, на першому кроці, з точки опустимо перпендикуляр на сторону , який перетне її в деякій точці ( – висота паралелограма).
Після цього, з прямокутного трикутника знаходимо довжину даного перпендикуляра (катет, що лежить навпроти кута 30 градусів, дорівнює половині гіпотенузи):
Далі, скориставшись формулою обчислення площі паралелограма, отримаємо:
Таким чином, площа паралелограма дорівнює .
Дивіться також:
Хочете дізнатися більше про паралелограми? Перегляньте ці сторінки:
- Означення паралелограма і його властивості.
- Діагональ паралелограма – формули та приклади.
- Периметр паралелограма – формули та приклади.