Площа паралелограма – формули та приклади

Площа паралелограма – це область, охоплена паралелограмом у двовимірній площині.

Паралелограм – це двовимірна фігура з чотирма сторонами і може розглядатися як окремий випадок чотирикутника. Сума внутрішніх кутів паралелограма дорівнює 360 градусів. Крім того, паралелограм має дві пари паралельних сторін з однаковими розмірами. Оскільки це двовимірна фігура, вона має площу та периметр.

Тут ми дізнаємося про методи, за допомогою яких можна обчислити площу паралелограма. Розглянемо формули для обчислення площі та застосуємо їх для вирішення деяких задач.

Площа паралелограма дорівнює добутку будь-якої його сторони на висоту, яка проведена до цієї сторони.

площа паралелограма, площа паралелограма формули, як знайти площу паралелограма

На рисунку, що міститься вище, зображено паралелограм ABCD, висота BM якого проведена до сторін AD та BC. Покажемо, що площа паралелограма формула, де S – площа паралелограма ABCD.

Для цього, проведемо ще одну висоту CN. В результаті отримаємо чотирикутник MBNC, який, виходячи з того що всі його кути прямі, являється прямокутником. Покажемо, що даний прямокутник є рівновеликим паралелограму ABCD.

площа паралелограма, площа паралелограма всі формули, як знайти площу паралелограма формула

Отже, як видно з рисунка, площа паралелограма дорівнює сумі площ трикутника ABM і трапеції MBCD. Площа прямокутника MBNC дорівнює сумі площ зазначеної трапеції та трикутника DCN.

Проте, трикутники ABM та DCN рівні за гіпотенузою та гострим кутом (відрізки AB і CD рівні як протилежні сторони паралелограма, кути α і β рівні як різносторонні при паралельних прямих AB і CD та січній AD).

Звідси, паралелограм ABCD та прямокутник MBNC рівновеликі. Отже, скориставшись означенням площі прямокутника (дорівнює добутку довжин сторін BC та BM) отримаємо формулу для обчислення площі паралелограма: площа паралелограма формула.

Зауваження: якщо позначити довжини сторони паралелограма та проведеної до неї висоти буквами a та h відповідно, то знайти площу паралелограма, можна скориставшись наступною формулою: площа паралелограма формула.

Розглянемо також загальний для всіх чотирикутників випадок, коли відомими є величини двох діагоналей і градусна міри кута, який вони між собою утворюють.

площа паралелограма, площа паралелограма всі формули, площа паралелограма обчислюється за формулою

Зазначимо, що цими даними можна скористатися і для знаходження площі паралелограма. У цьому випадку формула матиме такий вигляд (оскільки sin(β)=sin(180°-α)=sin(α), то в якості кута між діагоналями можна брати будь-який кут – як гострий, так і тупий):

площа паралелограма формула

Зауваження: позначивши довжини діагоналей паралелограма буквами d1 та d2 відповідно, формулу площі паралелограма перепишемо в більш звичній буквенній формі:

площа паралелограма формула

Розглянуті вище способи обчислення площі паралелограма використовуються для рішення наступних прикладів. Кожен приклад має відповідь, але рекомендуємо спробувати розв’язати приклади самостійно, перш ніж дивитися відповідь.

Приклад 1: паралелограм має основу довжиною 12 см і висоту 11 см. Яка площа паралелограма?

Отже, за умовою маємо, що основа та висота паралелограма дорівнюють 12 см і 11 см відповідно. Використавши формулу площі із заданими значенням матимемо:

площа паралелограма дорівнює 132 см^2

Таким чином, площа паралелограма дорівнює 132 см^2.

Приклад 2: чому дорівнює площа паралелограма з основою 15 см і висотою 20 см?

Зазначимо, що у цьому випадку основа та висота паралелограма рівні 15 см та 20 см. Тому, замінивши a та h у формулі площі заданим значенням отримаємо:

площа паралелограма дорівнює 300 см^2

Отже, площа паралелограма дорівнює 300 см^2.

Приклад 3: площа паралелограма дорівнює 36 см^2, а довжини його висот 3 см і 4 см. Знайти периметр паралелограма.

площа паралелограма, площа паралелограма дорівнює, площа паралелограма обчислюється за формулою

Виходячи з того, що площа паралелограма дорівнює добутку будь-якої його сторони на висоту, матимемо:

AD=12 см; DC=9см

Отже, периметр паралелограма дорівнює: 42 см.

Приклад 4: діагоналі паралелограма дорівнюють 8 см та 5 см. Градусна міра кут α, який вони між собою утворюють дорівнює 30 градусів. Знайти площу паралелограма.

Відповідно до формули через діагоналі, для шуканої площі матимемо:

площа паралелограма дорівнює 10 см^2

Звідси, площа паралелограма дорівнює 10 см^2.

Приклад 5: знайти площу паралелограма, якщо відомо, що його сторони дорівнюють 6 см та 7 см відповідно і A=30°.

площа паралелограма, паралелограм площа, площа паралелограма дорівнює

Для цього, на першому кроці, з точки B опустимо перпендикуляр на сторону AD, який перетне її в деякій точці K (BK – висота паралелограма).

Після цього, з прямокутного трикутника ABK знаходимо довжину даного перпендикуляра (катет, що лежить навпроти кута 30 градусів, дорівнює половині гіпотенузи):

BK=3

Далі, скориставшись формулою обчислення площі паралелограма, отримаємо:

площа паралелограма дорівнює 21 см^2

Таким чином, площа паралелограма дорівнює 21 см^2.

Хочете дізнатися більше про паралелограми? Перегляньте ці сторінки:

  1. Означення паралелограма і його властивості.
  2. Діагональ паралелограма – формули та приклади.
  3. Периметр паралелограма – формули та приклади.

Блок-схема алгоритму знаходження площі паралелограма

знайти площу паралелограма, як знайти площу паралелограма, як знайти площу паралелограма формула

Залишити коментар

Your email address will not be published. Required fields are marked *

*