Диференціювання складної функції
Нехай дана функція і при цьому
. Тоді вихідну функцію можна представити у вигляді
. Зазначимо, що функції такого типу називаються складними, а змінна
— проміжним аргументом.
Встановимо правило диференціювання складних функцій. Отже, якщо функції і
— диференційовані, то складна функція
є також диференційованою, причому:
Це правило поширюється на ланцюжок із будь-якого скінченного числа диференційованих функцій: похідна складної функції дорівнює добутку похідних функцій, які її утворюють.
Похідна складної функції — приклади розв'язання:
Приклад 1: знайти похідну функції .
Отже, маємо cкладну степеневу функцію з проміжним аргументом . Тому функцію можна подати у вигляді
, де
. Тоді, за формулою (1) маємо:
Приклад 2: знайти похідну функції .
Аргументом косинуса заданої функції є не , а
— функція від
. Отже, маємо складну функцію, яку можна подати у вигляді
, де
. Отже, за правилом (1) отримаємо:
Приклад 3: знайти похідну функції .
Це складна степенева функція з проміжним аргументом . Функція може бути подана у вигляді
, де
. Знаходячи похідні
і
та підставляючи одержані вирази до формули (1), матимемо:
Приклад 4: знайти похідну складної функції .
Отже, подавши функцію у вигляді і скориставшись правилом диференціювання складної функції, отримаємо:
Приклад 5: знайти похідну складної функції .
Покладемо . Тоді за правилом диференціювання складної функції матимето:
Зауваження: при достатньому навику букви ,
та
для позначення проміжних аргументів не вводиться. Ось як, до прикладу, може бути знайдена похідна розглянутої в останньому прикладі складної функції:
Або ще коротше: .