Диференціювання складної функції

Нехай дана функція  і при цьому . Тоді вихідну функцію можна представити у вигляді . Зазначимо, що функції такого типу називаються складними, а змінна  — проміжним аргументом.

Встановимо правило диференціювання складних функцій. Отже, якщо функції  і  — диференційовані, то складна функція є також диференційованою, причому:

Це правило поширюється на ланцюжок із будь-якого скінченного числа диференційованих функцій: похідна складної функції дорівнює добутку похідних функцій, які її утворюють.

Похідна складної функції — приклади розв'язання:

Приклад 1: знайти похідну функції .

Отже, маємо cкладну степеневу функцію з проміжним аргументом . Тому функцію можна подати у вигляді , де . Тоді, за формулою (1) маємо:

Приклад 2: знайти похідну функції .

Аргументом косинуса заданої функції є не , а  — функція від . Отже, маємо складну функцію, яку можна подати у вигляді , де . Отже, за правилом (1) отримаємо:

Приклад 3: знайти похідну функції .

Це складна степенева функція з проміжним аргументом . Функція може бути подана у вигляді , де . Знаходячи похідні і та підставляючи одержані вирази до формули (1), матимемо:

Приклад 4: знайти похідну складної функції .

Отже, подавши функцію у вигляді і скориставшись правилом диференціювання складної функції, отримаємо:

Приклад 5: знайти похідну складної функції .

Покладемо . Тоді за правилом диференціювання складної функції матимето:

Зауваження: при достатньому навику букви , та для позначення проміжних аргументів не вводиться. Ось як, до прикладу, може бути знайдена похідна розглянутої в останньому прикладі складної функції:

Або ще коротше: .