Друга інтерполяційна формула Ньютона

Другу інтерполяційну формулу Ньютона доцільно використовувати в тому випадку, коли інтерполяція функції здійснюється в кінці проміжку. Отже, розглянемо деяку функцію ii_interpolacijna_formyla_nytona1 для якої відомі значення ii_interpolacijna_formyla_nytona2 для рівновіддалених вузлів ii_interpolacijna_formyla_nytona3. Для отриманя другої інтерполяційної формули Ньютона, інтерполяційний поліном запишемо у наступному вигляді:

Друга інтерполяційна формула Ньютона

Використовуючи узагальнену степінь числа, даний поліном запишемо наступним чином:

Друга інтерполяційна формула Ньютона

Тобто, аналогічно першій інтерполяційній формулі Ньютона, задача полягає у знаходженні коефіцієнтів Друга інтерполяційна формула Ньютона таким чином, щоб виконувалась умова Друга інтерполяційна формула Ньютона.

Для цього, в формулі (1) покладемо Друга інтерполяційна формула Ньютона. В результаті отримаємо Друга інтерполяційна формула Ньютона.

Далі, для знаходження коефіцієнта Друга інтерполяційна формула Ньютона, запишемо скінченну різниці першого порядку (див. перша інтерполяційна формула Ньютона) Друга інтерполяційна формула Ньютона. Покладаючи в останній вираз Друга інтерполяційна формула Ньютона отримаємо Друга інтерполяційна формула Ньютона.

Анілогічно записавши другу скінченну різницю:

Друга інтерполяційна формула Ньютона

і поклавши Друга інтерполяційна формула Ньютона, знаходимо коефіцієнт Друга інтерполяційна формула Ньютона: Друга інтерполяційна формула Ньютона.

Продовжуючи даний процес далі, отримаємо загальну формулу для обчислення шуканих коефіцієнтів: Друга інтерполяційна формула Ньютона. Підставляючи дані значення у формулу (1) отримаємо:

Друга інтерполяційна формула Ньютона

Формула (2) називається другою інтерполяційною формулою Ньютона. Проте, для практичного використання формулу (2) записують в дещо іншому вигляді. Для цього вводять змінну ii_interpolacijna_formyla_nytona34. Тоді

Друга інтерполяційна формула Ньютона

Підставляючи дані значення в інтерполяційну формулу (2), отримаємо кінцевий варіант другої інтерполяційної формули Ньютона:

Друга інтерполяційна формула Ньютона

Друга інтерполяційна формула Ньютона — приклад:

Нехай функція ii_interpolacijna_formyla_nytona1 задана таблично:

ii_interpolacijna_formyla_nytona24

Таблиця фіксованих значень функції

Необхідно, скориставшись другою інтерполяційною формулою Ньютона, обчислити значення функції в точці ii_interpolacijna_formyla_nytona25, яка являється відмінною від заданих. Для цього, як і у випадку першої інтерполяційної формули Ньютона, на першому кроці, виконуємо обчислення скінченних різниць до шостого порядку включно:

  1. Скінченні різниці першого порядку:
  2. ii_interpolacijna_formyla_nytona26

  3. Скінченні різниці другого порядку:
  4. ii_interpolacijna_formyla_nytona27

  5. Скінченні різниці третього порядку:
  6. ii_interpolacijna_formyla_nytona28

  7. Скінченні різниці четвертого порядку:
  8. ii_interpolacijna_formyla_nytona29

  9. Скінченні різниці п'ятого порядку:
  10. ii_interpolacijna_formyla_nytona32

  11. Скінченні різниці шостого порядку: ii_interpolacijna_formyla_nytona33.

Підставляючи отримані значення, значення з таблиці і точку i_interpolacijna_formyla_nytona40, в кінцевий варіант другої інтерполяційної формули Ньютона, отримуємо наближене значення функції в заданій точці:

ii_interpolacijna_formyla_nytona36

Блок-схема програмної реалізації другої інтерполяційної формули Ньютона:

Друга інтерполяційна формула Ньютона

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар