У своєму повсякденному житті ми часто стикаємося з завданнями, які пов’язані з обчисленням периметра різних геометричних фігур. У разі, якщо геометрична фігура – багатокутник, знаходження його периметра не складає особливих труднощів: для цього достатньо визначити довжину кожної зі сторін і скласти отримані результати. Але що робити, коли перед нами коло, а завдання – визначити його “периметр”, частіше відомий як довжина кола? Чи є для цього простий та ефективний спосіб? Відповіді на це питання та більше про знаходження довжини кола ми дізнаємося у цій статті.
Формула Довжини Кола: Основи та Виведення
Отже, давайте розглянемо основу обчислення довжини кола. Перш ніж ми зануримося в формули, важливо зрозуміти, яким чином ми можемо зв’язати довжину кола із його радіусом.
Для цього пригадаємо деякі властивості правильних вписаних в коло багатокутників. Чим більше число сторін такого багатокутника, тим точніше його периметр наближається до довжини кола. Якщо збільшувати число сторін необмежено, ми наближаємося до точного значення довжини кола. З цієї концепції ми можемо вивести формулу для обчислення довжини кола через його радіус.
Отже, припустимо, що ми маємо два кола з радіусами R і R1 відповідно. Впишемо в кожне з них правильний n-кутник і позначаємо їх периметри як P і P1, а сторони як a і a1 відповідно. Тоді, використовуючи формулу для знаходження сторони правильного багатокутника (an=2⋅R⋅sin(180/n)) матимемо:
Звідси:
Зазначимо, що ця рівність справедлива при будь-якому значенні n.
Будемо тепер необмежено збільшувати число n. Так як P збігається до C, P1 збігається до C1, при n→∞ (де C та C1 довжини розглядуваних кіл), то границя відношення P/P1 дорівнює C/C1. З іншого боку, в силу рівності (2) ця границя дорівнює (2⋅R)/(2⋅R1). Таким чином, C/C1=(2⋅R)/(2⋅R1). З цієї рівності випливає, що C/(2⋅R)=C1/(2⋅R1), тобто відношення довжини кола до його діаметра є однакове для всіх кіл. Це число прийнято позначати грецькою буквою π.
З рівності C/(2⋅R)=π отримуємо формулу, яка дозволяє знайти довжину кола через радіус R:
Додаткові підходи до обчислення довжини кола
Формула довжини кола через радіус може бути представлена і через інші величини. Наприклад, так як діаметр кола дорівнює двом радіусам, то формула довжини кола через діаметр приймає наступний вигляд:
Також, замість радіуса кола, у формілу (3) можна підставити рівний йому вираз, виведений з формули площі круга:
Таким чином, ці альтернативні підходи роблять обчислення довжини кола більш гнучким та дозволяють використовувати різні величини для отримання цього значення в залежності від конкретних умов та потреб.
Довжина Кола: Практичні Приклади із Розв’язаннями
Для того, щоб краще усвідомити, як визначити довжину кола, розглянемо кілька конкретних завдань. Щоправда в кожній задачі є вже готова відповідь, але чи не цікавіше спробувати розв’язати їх самостійно перед переглядом результатів?
Приклад 1: Яка довжина кола, радіус якого дорівнює 4 см?
Отже, за умовою маємо довжину радіуса. Тому використовуючи формулу C=2⋅π⋅R, будемо мати:
Таким чином, довжина кола дорівнює 25.12 см.
Приклад 2: Чому дорівнює довжина кола з діаметром 5 см?
Зазначимо, що в даному випадку, ми маємо довжину діаметра замість радіуса. Тому ми можемо використати формулу C=π⋅D зі значенням D=5:
Отже, довжина кола дорівнює 15.7 см.
Приклад 3: Яка довжина діаметра кола, якщо його довжина 80 см?
Тут ми починаємо зі значення довжини кола та хочемо знайти довжину діаметра, тому ми використовуємо значення C=80 у формулі C=π⋅D та знаходимо D:
Отже, довжина діаметра дорівнює 25.478 см.
Приклад 4: Якою має бути довжина металевої стрічки, щоб зробити з неї коло, яке обмежує круг площею 31400 см2?
Оскільки площа кола визначається за формулою S=π⋅R2, то за умовою π⋅R2=31400. Звідси, враховуючи що π=3.14, визначимо радіус даного кола:
Далі, скориставшись формулою C=2⋅π⋅R знайдемо необхідну нам довжину стрічки:
Зауваження: розв’язок даної задачі можна отримати і дещо простішим шляхом, якщо застосувати для її рішення формулу (5):
Дивіться Також: Розширюйте Свої Знання щодо Геометрії Кола!
Зацікавилися довжиною кола? Тоді ви, безперечно, захочете дізнатися ще більше про інші аспекти геометрії, що стосуються кола. Ось кілька тем, які варто розглянути:
- Що таке коло: Визначення та складові – Дізнайтеся про основні поняття та елементи, які визначають структуру кола, а також як вони впливають на його характеристики.
- Властивості кола в дії: Приклади задач з відповідями – Поглибіть своє розуміння геометричних властивостей кола через практичні завдання та їх розв’язання.
- Довжина дуги кола: Від означення до практичних задач – Вивчайте, як визначити довжину дуги кола та застосовувати це поняття в різноманітних ситуаціях, щоб вирішувати практичні завдання.