Навігація по сторінці.
Правила додавання векторів.
Нехай і – два довільних вектори. За допомогою паралельного перенесення приведемо вектор до довільної точки , а потім від кінця цього вектора відкладемо вектор .
Сумою цих векторів буде вектор , початок якого збігається з початком вектора , а кінець – із кінцем вектора (правило трикутника).
Для знаходження суми векторів можна також користуватись правилом паралелограма, згідно з яким вектори та приводять до спільного початку (точка ) і будують на цих векторах, як на суміжних сторонах, паралелограм. Тоді його діагональ, що виходить зі спільної вершини , є сумою векторів .
Зауваження: для обчислення суми векторів використовують правило замикання ламаної (узагальнення правила трикутників). У цьому разі до кінця вектора треба приєднати вектор , до кінця – вектор і так далі. Тоді сумою векторів буде вектор, початок якого співпадає з початком першого вектора , а кінець – із кінцем останнього вектора .
Властивості додавання векторів.
Операція додавання векторів задовільняє наступні алгебраїчні властивості:
- сума векторів коммутативна, тобто для будь-яких і ;
- сума векторів асоціатівна, тобто для будь-яких векторів , і ;
- нульовий вектор є нейтральним щодо операції додавання, тобто для будь-якого вектора ;
- сумою протилежних векторів є нуль-вектор, тобто .
Віднімання векторів.
Різницею векторів і є вектор , який в сумі з вектором дає вектор .
Звідси безпосередньо випливає правило віднімання векторів: щоб від вектора відняти вектор , необхідно привести їх до спільного початку (точка ), після чого, з’єднати їх кінці за допомогою вектора , спрямованого у кінець зменшуваного вектора . В результаті отримаємо .
Зазначимо, що користуючись поняттям протилежних векторів, можна сформулювати інше правило віднімання: щоб отримати різницю векторів , потрібно до вектора додати вектор, зворотний вектору , тобто .
За допомогою правила паралелограма можна знаходити як суму, так і різницю векторів та .
Додавання і віднімання векторів – розв’язування прикладів.
Приклад 1: вектори і взаємно перпендикулярні, причому і . Знайти і .
Оскільки задані вектори взаємно перпендикулярні, то паралелограм, побудований на цих векторах, вироджується в прямокутник.
На основі властивості діагоналей прямокутника, а саме сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів його сторін, отримаємо:
Розв’язавши останнє рівняння відносно , будемо мати:
Звідси, (як діагоналі прямокутника).