Чисельне інтегрування функції методом Ромберга

Перш ніж приступити до розгляду чергового методу чисельного інтегрування, нагадаємо, що інтеграл від функції чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком цієї функції і межами інтегрування . Відмітимо, що розглядувані на даному сайті методи (метод прямокутниківметод трапецій, метод Сімпсона), базуються на процедурі поділу відрізка  на елементарних частин, після чого, площа криволінійної трапеції обчислюється, як сума площ  прямокутників чи трапецеїдних фігур (в залежності від вибраного методу). Проте, результат отриманий згідно даних методів, сильно залежить від величини кроку (), що позначається на точності обчислення визначеного інтеграла особливо в тих випадках, коли функція має немонотонний характер.

Використання екстраполяції Річардсона, при інтегруванні відомими методами, дозволяє значно скоротити машинний час при незмінній точності результату (оскільки уточнення результату інтегрування не потребує додаткових обчислень функції). Застосування наведеної нижче методики до ітераційної формули трапецій складає розглядуваний метод Ромберга.

Далі, розглянемо основну суть екстраполяції Річардсона. Для цього, вибиремо деякий крок  і розрахуємо по формулі трапецій деяке значення інтеграла . Далі, крок  зменшимо удвічі, в результаті чого, отримаємо нове значення . Тоді, згідно з екстраполяцією Річардсона, розраховане значення інтеграла може бути уточнене за формулою:

Надрядковий індекс при визначає порядок уточнення (номер ітерації). Далі, крок знову зменшуємо удвічі, розраховуємо нове значення інтеграла і за отриманими даними, уточнюємо його вже до другого порядку:

Точність на даній стадії обчислювальної процедури перевіряється умовою , де  — задана точність інтегрування. Якщо задана точність не досягнута, зменшуємо крок удвічі і виконуємо подальші розрахунки за рекурентною формулою:

де  — число відрізків, на яке розбивається проміжок інтегрування  ().

Відмітимо, що згідно з методом Ромберга наближене значення інтеграла на кожній ітерації розраховується за ітераційною формулою трапецій наступного виду:

Після чого, отриманий результат, уточнюється за формулою (4) і продовжується даний процес до тих пір, поки не буде виконуватись умова .

Чисельне інтегрування функції методом Ромберга — приклад:

Використовуючи розглянутий алгоритм методу Ромберга, знайти, з точністю площу криволінійної трапеції обмеженої графіком функції і межами інтегрування .

Криволінійна трапеція задачі

Криволінійна трапеція площу якої необхідно знайти

Для цього, вибравши в якості кроку  значення , та скориставшись формулою трапецій, (міститься за вищевказаним посиланням) обчислимо початкове значення визначеного інтеграла:

Далі, зменшивши крок  удвічі () та скориставшись формулою (5), обчислимо перше наближення до шуканої площі:

Після цього, скориставшись формулою (4), виконуємо процедуру уточнення отриманого значення:

Далі, виходячи з того, що умова зупинки не виконується (), переходимо до ітерації номер два, тобто знову-таки скорочуємо крок   удвічі (), обчислюємо друге наближення  до шуканого значення та скориставшись формулою (4) уточнюємо його. Відмітимо, що після виконання даної ітерації ми отримаємо значення, для якого умова зупинки виконується, і яке приймемо в якості шуканого значення:

Блок-схема алгоритму чисельного інтегрування функції методом Ромберга

Метод Ромберга блок-схема

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар