Похідна функції. Як знайти похідну функції
Нехай функція 
) визначена в деякому околі точки 
і нехай 
— точка цього околу (
).
Якщо відношення 
має границю при 
, то ця границя називається похідною функції в точці і позначається 
. Таким чином,
тобто похідною функції в точці називається границя відношення (якщо вона існує) приросту функції в точці до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.
Якщо функція в точці має скінченну похідну, то вона називається диференційованою в цій точці.
Ілюстрація до визначення похідної функції в точці
Якщо функція 
диференційована в кожній точці інтервалу 
, то 
, де 
і 
— приріст аргументу та приріст функції відповідно.
Мішаний добуток трьох векторів
Нехай дано три вектора 
, 
і 
. Вектор 
помножимо векторно на 
, векторний добуток 
помножимо скалярно на 
, в результаті отримуємо число, яке називають векторно-скалярним добутком або мішаним добутком 
з трьох векторів 
. Мішаний добуток позначається 
.
Векторно-скалярний добуток 
з трьох некомпланарних векторів дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на векторах , взятому зі знаком плюс, якщо трійка — права і зі знаком мінус, коли ця трійка — ліва.
Ілюстрація до визначення мішаного добутку
Дійсно, 
. Тут 
— площа паралелограма, побудованого на векторах та і 
— висота паралелепіпеда. Таким чином, 
.
Векторний добуток двох векторів
Векторним добутком двох векторів 
і 
називається третій вектор 
, який задовольняє наступним умовам:
- Вектор
перпендикулярний кожному з векторів 
і 
. - Довжина вектора дорівнює площі паралелограмма, побудованого на векторах та , тобто
, де 
— кут між даними векторами. - Вектори , і утворюють праву трійку.
Для векторного добутку, так само як і для скалярного добутку, використовуються різні позначення, а саме 
та 
. Ми ж будемо дотримуватися першого з них, тобто 
.
Ілюстрація до визначення векторного добутку
Зауваження: некомпланарні вектори 
, взяті у вказаному порядку, утворюють праву трійку, якщо з кінця вектора 
найкоротший поворот від до спостерігається проти ходу годинникової стрілки, і ліву трійку, якщо за годинниковою.
Наближене обчислення числа Пі
Число Пі — це математична константа, яка представляє собою відношення довжини кола до його діаметра. Значення цієї константи приблизно дорівнює 3.14 в звичайних десяткових позначеннях. Багато формул в математиці, природознавстві і техніці включають Пі, що робить його однією з найважливіших математичних констант. До прикладу, площа кола дорівнює Пі, помноженому на квадрат його радіусу.
Оскільки Пі є ірраціональним числом, його значення не може бути виражено точно як дріб, що має цілі числа як в чисельнику, так і в знаменнику. Тобто, його десяткове подання ніколи не закінчується і ніколи не повторюється.
Авторство відкриття числа Пі невідомо і приписується геометрам з Стародавнього Єгипту, Індії, Греції та Вавилону. Першу спробу обчислити його точне значення запропонував Архімед: він вписував в коло і описував навколо нього правильні багатокутники, згодом зробивши висновок, що значення цієї константи лежить в інтервалі між 
і 
.
Обчислення числа Пі — спосіб Архімеда
Приблизно через 600 років після Архімеда китайський математик Цзу Чунчжі застосував аналогічний підхід для правильного багатокутника з 12288 сторонами. Це призвело до наближення значення числа Пі до 
, яке відповідає шести десятковим розрядам. Зазначимо, що отриманий таким чином результат являвся найбільш точним розрахунком числа протягом наступних 900 років.
Скалярний добуток векторів
Під скалярним добутком двох векторів 
і 
розуміють число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними:
де 
— менший кут між векторами 
та 
(
). Разом із символом 
в літературі часто використовуються й інші позначення, а саме 
або 
.
Оскільки проекція вектора на вісь дорівнює його модулю, помноженому на косинус кута нахилу вектора до цієї осі, то маємо:
Тоді, формулу (1) можна переписати у наступному вигляді:
Таким чином, скалярний добуток двох векторів дорівнює довжині одного з них, помноженої на проекцію другого вектора на вісь, напрямок якої визначається першим вектором.
Проекція вектора на вісь
Нехай задано вектор 
і вісь 
. З кінців вектора опустимо перпендикуляри на вісь (точки 
та 
) і утворимо вектор 
.
Проекцією вектора 
на вісь називають довжину вектора , взяту зі знаком «плюс», якщо напрямки вектора та осі співпадають, і зі знаком «мінус», якщо вказані напрямки протилежні.
Ілюстрація до визначення проекції вектора на вісь
Проекцію вектора будемо позначати через 
або 
, де 
- будь-який ненульовий вектор, що задає напрямок проектування.
Множення вектора на число
Добутком вектора 
на число 
називається вектор 
, колінеарний вектору 
, який має довжину 
і спрямований у той самий бік, що й вектор , якщо 
, і в протилежний, якщо 
(для позначення використовують запис 
).
Множення вектора на число
Зауваження: якщо вектор заданий своїми координатами 
та 
, то добуток цього вектора на число — це вектор 
, координати якого дорівнюють відповідним координатам даного вектора , помноженим на число : 
.
Загрузка ...