Похідна функції. Як знайти похідну функції
Нехай функція ) визначена в деякому околі точки
і нехай
— точка цього околу (
).
Якщо відношення має границю при
, то ця границя називається похідною функції
в точці
і позначається
. Таким чином,
тобто похідною функції в точці
називається границя відношення (якщо вона існує) приросту функції
в точці
до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.
Якщо функція в точці
має скінченну похідну, то вона називається диференційованою в цій точці.
Ілюстрація до визначення похідної функції в точці
Якщо функція диференційована в кожній точці інтервалу
, то
, де
і
— приріст аргументу та приріст функції відповідно.
Мішаний добуток трьох векторів
Нехай дано три вектора ,
і
. Вектор
помножимо векторно на
, векторний добуток
помножимо скалярно на
, в результаті отримуємо число, яке називають векторно-скалярним добутком або мішаним добутком
з трьох векторів
. Мішаний добуток позначається
.
Векторно-скалярний добуток з трьох некомпланарних векторів дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на векторах
, взятому зі знаком плюс, якщо трійка
— права і зі знаком мінус, коли ця трійка — ліва.
Ілюстрація до визначення мішаного добутку
Дійсно, . Тут
— площа паралелограма, побудованого на векторах
та
і
— висота паралелепіпеда. Таким чином,
.
Векторний добуток двох векторів
Векторним добутком двох векторів і
називається третій вектор
, який задовольняє наступним умовам:
- Вектор
перпендикулярний кожному з векторів
і
.
- Довжина вектора
дорівнює площі паралелограмма, побудованого на векторах
та
, тобто
, де
— кут між даними векторами.
- Вектори
,
і
утворюють праву трійку.
Для векторного добутку, так само як і для скалярного добутку, використовуються різні позначення, а саме та
. Ми ж будемо дотримуватися першого з них, тобто
.
Ілюстрація до визначення векторного добутку
Зауваження: некомпланарні вектори , взяті у вказаному порядку, утворюють праву трійку, якщо з кінця вектора
найкоротший поворот від
до
спостерігається проти ходу годинникової стрілки, і ліву трійку, якщо за годинниковою.
Наближене обчислення числа Пі
Число Пі — це математична константа, яка представляє собою відношення довжини кола до його діаметра. Значення цієї константи приблизно дорівнює 3.14 в звичайних десяткових позначеннях. Багато формул в математиці, природознавстві і техніці включають Пі, що робить його однією з найважливіших математичних констант. До прикладу, площа кола дорівнює Пі, помноженому на квадрат його радіусу.
Оскільки Пі є ірраціональним числом, його значення не може бути виражено точно як дріб, що має цілі числа як в чисельнику, так і в знаменнику. Тобто, його десяткове подання ніколи не закінчується і ніколи не повторюється.
Авторство відкриття числа Пі невідомо і приписується геометрам з Стародавнього Єгипту, Індії, Греції та Вавилону. Першу спробу обчислити його точне значення запропонував Архімед: він вписував в коло і описував навколо нього правильні багатокутники, згодом зробивши висновок, що значення цієї константи лежить в інтервалі між і
.
Обчислення числа Пі — спосіб Архімеда
Приблизно через 600 років після Архімеда китайський математик Цзу Чунчжі застосував аналогічний підхід для правильного багатокутника з 12288 сторонами. Це призвело до наближення значення числа Пі до , яке відповідає шести десятковим розрядам. Зазначимо, що отриманий таким чином результат являвся найбільш точним розрахунком числа протягом наступних 900 років.
Скалярний добуток векторів
Під скалярним добутком двох векторів і
розуміють число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними:
де — менший кут між векторами
та
(
). Разом із символом
в літературі часто використовуються й інші позначення, а саме
або
.
Оскільки проекція вектора на вісь дорівнює його модулю, помноженому на косинус кута нахилу вектора до цієї осі, то маємо:
Тоді, формулу (1) можна переписати у наступному вигляді:
Таким чином, скалярний добуток двох векторів дорівнює довжині одного з них, помноженої на проекцію другого вектора на вісь, напрямок якої визначається першим вектором.
Проекція вектора на вісь
Нехай задано вектор і вісь
. З кінців вектора опустимо перпендикуляри на вісь (точки
та
) і утворимо вектор
.
Проекцією вектора на вісь
називають довжину вектора
, взяту зі знаком «плюс», якщо напрямки вектора
та осі
співпадають, і зі знаком «мінус», якщо вказані напрямки протилежні.
Ілюстрація до визначення проекції вектора на вісь
Проекцію вектора будемо позначати через або
, де
- будь-який ненульовий вектор, що задає напрямок проектування.
Множення вектора на число
Добутком вектора на число
називається вектор
, колінеарний вектору
, який має довжину
і спрямований у той самий бік, що й вектор
, якщо
, і в протилежний, якщо
(для позначення використовують запис
).
Множення вектора на число
Зауваження: якщо вектор заданий своїми координатами
та
, то добуток цього вектора на число
— це вектор
, координати якого дорівнюють відповідним координатам даного вектора
, помноженим на число
:
.