Логарифмічне диференціювання

Логарифмічним диференціюванням називається метод диференціювання функцій, при якому спочатку знаходиться логарифм функції, а потім обчислюється похідна від нього. Зазначимо, що такий прийом доцільно застосувати у випадку, коли задана функція містить множення, ділення, піднесення до степеня чи видобування кореня.

Розглянемо даний підхід більш детально. Отже, нехай дана функція . Візьмемо натуральні логарифми від обох її частин. В результаті отримаємо:

Тепер, продиференціюємо цей вираз як складну функцію, маючи на увазі, що  — це функція від :

Виразивши з останньої рівності шукану похідну, остаточно отримаємо:

Зазначимо, що похідна виду (3) називається логарифмічною похідною, а процес її знаходження — логарифмічним диференціюванням.

Далее

Похідна параметрично заданої функції

Припустимо, що функція  задана в параметричному вигляді за допомогою двох рівнянь наступного вигляду:

де  допоміжна змінна, яку називають параметром. Запишемо флормулу для знаходження похідної заданої таким чином функції.

Отже, припустимо, що функції і в деякій області зміни параметра  мають похідні, причому . Крім того, будемо вважати, що функція  має обернену функцію .

Зазначимо, що в такому випадку, задану параметричним рівнянням (1), функцію можна розглядати як складну функцію: , де  — проміжний аргумент. І тоді, за правилом диференціювання складної функції, маємо:

Оскільки, по теоремі про похідну оберненої функції виконується (похідна функції, оберненої до даної дорівнює величині, оберненій до похідної даної функції, якщо остання не дорівнює нулю), то формулу (2) можна переписати в дещо іншому вигляді: .

Далее

Похідна неявно заданої функції

Якщо функція  визначена співвідношенням  то  називають неявною функцією від .

Інколи рівняння (1) можна розв'язати відносно , тобто можливий перехід від неявного способу визначення функції до явного , але частіше розв'язання рівняння (1) відносно  неможливе. Слід також відзначити, що терміни «явна функція» і «неявна функція» характеризують не природу функції, а аналітичний спосіб її задання.

Для того, щоб знайти похідну неявно заданої функції, потрібно:

  1. Продиференціювати по  обидві частини рівності (1), при цьому  розглядається як незалежна змінна, а  є функцією від , тобто , а  — це шукана похідна.
  2. Розв'язати отримане рівняння відносно .

Похідна неявно заданої функції — приклади розв'язання:

Приклад 1: знайти похідну від функції , заданої неявно.

Отже, продиференціюємо обидві частини рівняння по , враховуючи при цьому, що  є функцією від : . Розв'язуючи отримане рівняння відносно , отримаємо:

Далее

Диференціювання складної функції

Нехай дана функція  і при цьому . Тоді вихідну функцію можна представити у вигляді . Зазначимо, що функції такого типу називаються складними, а змінна  — проміжним аргументом.

Встановимо правило диференціювання складних функцій. Отже, якщо функції  і  — диференційовані, то складна функція є також диференційованою, причому:

Це правило поширюється на ланцюжок із будь-якого скінченного числа диференційованих функцій: похідна складної функції дорівнює добутку похідних функцій, які її утворюють.

Похідна складної функції — приклади розв'язання:

Приклад 1: знайти похідну функції .

Отже, маємо cкладну степеневу функцію з проміжним аргументом . Тому функцію можна подати у вигляді , де . Тоді, за формулою (1) маємо:

Далее

Правила диференціювання функцій і таблиця похідних

Знаходження похідних за означенням не проста задача. Тому для відшукання похідних від функцій, які утворені з декількох елементарних функцій використовують правила диференціювання, що формулюється наступним чином:

  1. Похідна постійної величини дорівнює нулю: .
  2. Якщо кожна з функцій , , диференційовна в деякій точці , то диференційовною в цій точці є їх алгебраїчна сума, причому похідна алгебраїчної суми цих функцій дорівнює алгебраїчній сумі їх похідних: .
  3. Якщо функції  і  диференційовні в точці  , то їх добуток диференційовний в цій точці і має місце формула: .

    Зауваження: якщо функція , то , тобто постійна величина виноситься за знак похідної.

  4. Якщо функції  диференційовні в точці , причому , то їх частка також має похідну в цій точці, яка обчислюється за формулою: .

    Зауваження: якщо чисельник дробу постійна величина (функція ), то ; якщо знаменник дробу — постійна величина (функція ), то .

Зазначимо, що на підставі означення похідної та розглянутих вище правил диференціювання складається таблиця похідних основних елементарних функцій:

Далее

Рівняння дотичної і нормалі до кривої

З курсу аналітичної геометрії відомо, що рівняння прямої, яка проходить через точку з кутовим коефіцієнтом, що дорівнює , має наступний вигляд: .

Дотична і нормаль до кривої

Дотична до кривої в точці має кутовий коефіцієнт . Отже, рівнянням дотичної буде:

Відзначимо, що коли дотична паралельна осі , то кут її нахилу з додатним напрямком осі абсцис дорівнює нулю і тоді . Якщо дотична в точці паралельна осі ,то і тоді .

Далее

Механічний і геометричний зміст похідної

Як відомо, похідною функції в точці  називається границя відношення (якщо вона існує) приросту функції в цій точці до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля:

Зазначимо, що рівність (1) можна записати і в дещо іншому вигляді:

тобто похідна функції в точці дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до кривої в точці з додатним напрямком осі . Це твердження і виражає геометричний зміст похідної.

Ілюстрація до визначення геометричного змісту похідної

Справді, оскільки є неперервною функцією кута , то при . Отже, кутовий коефіцієнт дотичної до кривої  в точці можна обчислити за формулою:

Далее

Наступна сторінка »