Властивості та сума членів геометричної прогресії

Як і у випадку з арифметичною прогресією, при розгляді задач пов'язаних з геометричною прогресією основними являються два питання. Перше з них полягає у знаходженні будь-якого члена прогресії . І друге — у знаходженні суму  членів прогресії. Виходячи з того, що відповідь на перше питання відома (обчислюється за формулою ), то, в даному параграфі, зосередимо свою увагу на виводі формули обчислення суми, але для початку, розглянемо та доведемо деякі властивості геометричної прогресії.

  1. Кожен член знакододатної геометричній прогресії представляє собою середнє геометричне його сусідніх членів (виняток представляє перший член, а у скінченній прогресії також і останній (мають тільки по одному сусідньому члену)).

    Доведемо істенність даного твердження. Отже, для члена , члени і будуть сусідніми. За означенням прогресії маємо: . Звідси, . Перемножимо ці рівності і візьмемо корінь квадратний з отриманого результату. В результаті будемо мати , що і треба було довести.

  2. У скінченній геометричній прогресії добуток членів, рівновіддалених від її кінців, рівні між собою і дорівнюють добутку крайніх членів.

    Доведемо дане твердження також. Так само як і для арифметичної прогресії, на -му місці від початку і від кінця геометричної прогресії, що має  членів, перебувають члени  і відповідно. Скориставшись формулою загального члена прогресії, знайдемо добуток цих елементів. В результаті будемо мати: . Звідси, виходячи з того, що , отримаємо , що і треба було довести.

Виведемо тепер формулу для суми членів скінченної геометричній прогресії, що містить  членів. Отже, позначивши цю суму через , запишемо її вираз розташувавши члени прогресії по зростанню їх номерів:

Далее

Означення та формула обчислення загального члена геометричної прогресії

Геометричною прогресією називається така послідовність чисел, у якій кожен член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне і те саме, задане для даної послідовності, число , яке називається знаменником геометричної прогресії (передбачається, що ).

Якщо число членів прогресії скінченне, то вона називається скінченною геометричною прогресією. В іншому випадку вона називається нескінченною. Наведемо приклади нескінченних геометричних прогресій:

  1.  — знакододатна, монотонно зростаюча геометрична прогресія.
  2.  — знакозмінна геометрична прогресія ( являється меншим нуля).

Абсолютна величина членів другої з наведених вище прогресій, в силу того, що , спадає. У зв'язку з цим прикладом введемо означення: геометрична прогресія називається спадною, якщо , тобто, якщо її члени зменшуються по модулю (зауважимо, що при , як в розібраному прикладі, самі члени прогресії поперемінно змінюють знак і спадної послідовності не утворюють, хоча ми і називаємо прогресію спадною).

Далее

Властивості та сума членів арифметичної прогресії

Власне кажучи, знаючи теоретичний матеріал, що міститься в параграфі означення та формула обчислення -го члена арифметичної прогресії, можна знаходити розв'язок практично будь-якої задачі пов'язаної з арифметичною прогресією. Однак, уявіть ситуацію, що треба знайти суму арифметичної прогресії, що складається з ста елементів. Це що ж нам, один за одним додавати всі члени, з першого по останній? Зрозуміло, що такий підхід до рішення поставленої задачі є не досить зручним. В таких випадках використовується спеціальна формула, але перш ніж приступити до її виводу, розглянемо та доведемо необхідні для цього властивості арифметичної прогресії:

  1. Кожен член арифметичної прогресії дорівнює середньому арифметичному його сусідніх членів (виняток становить перший член, а у скінченній прогресії також і останній (мають тільки по одному сусідньому члену)).

    Покажемо істенність даного твердження. Отже, для члена , члени та будуть сусідніми. За означенням прогресії можемо записати наступне: . Звідси, . Взявши півсуму останніх рівностей, отримаємо , що і треба було довести.

  2. У скінченній арифметичній прогресії суми членів, рівновіддалених від її кінців, рівні між собою і дорівнюють сумі крайніх членів.

    Доведемо дане твердження також. Для цього, випишемо кілька пар членів, рівновіддалених від кінців прогресії: . Переглянувши отримані резільтати можна зробити висновок, що у кожної такої пари, сума їх номерів на одиницю більш числа членів прогресії. Таким чином, якщо на -му місці від початку прогресії знаходиться член , то на -му місці від її кінця знаходиться член . Скориставшись формулою загального члена арифметичної прогресії, знайдемо суму цих елементів:

    Звідси, виходячи з того, що , отримаємо , що і треба було довести.

Виведемо тепер формулу для суми членів скінченної арифметичної прогресії. Для прогресії, що має  членів, позначимо цю суму через . Запишемо вираз суми  двічі, один раз розташувавши члени прогресії по зростанню їх номерів, і другий раз — по спаданню:

Далее

Послідовна розмальовка графа в середовищі програмування delphi

В параграфі розглядається програма, основним призначенням якої є відшукання хроматичного числа та здійснення правильної розмальовки вершин неорієнтованого графа, написана в середовищі Delphi 7. Зазначимо, що внизу сторінки міститься посилання, скориставшись якими можна завантажити delphi-проект, а в цій статті коротко опишемо елементи його головної форми.

Головне вікно проекту "Послідовна розмальовка графа"

Отже, головна форма delphi-програми ділиться на три частини і складається з панелі інструментів (компонент типу TPanel), графічного редактора (компонент типу TImage) та області виводу резільтатів (компонент типу TMemo):

Далее

Означення та формула обчислення загального члена арифметичної прогресії

Арифметичною прогресією називається така послідовність чисел, кожен член якої (починаючи з другого) дорівнює сумі попереднього члена і деякого фіксованого числа , яке називається різницею або кроком арифметичної прогресії.

До прикладу натуральний ряд чисел є нескінченною арифметичною прогресією з різницею , а послідовність непарних і парних чисел — нескінченними арифметичними прогресіями, для кожної з яких різниця дорівнює числу два ().

Арифметична прогресія при являється монотонною послідовністю: якщо , то прогресія зростає, якщо , то прогресія спадає, при вона постійна. Нескінченні арифметичні прогресії, для яких різниця не дорівнює нулю, як необмежені послідовності, границі не мають. Вони відносяться до категорії розбіжних послідовностей.

Далее

Алгоритм послідовної розмальовки графа

Розглядаючи задачу знаходження хроматичного числа графа (мінімальна кількість кольорів, в які можна розфарбувати його вершини) нами зазначалось, що єдиним підходом для знаходження оптимального рішення задач такого типу є перебір варіантів. До прикладу в параграфі, що міститься за посиланням вище, нами було розглянуто переборний алгоритм, результатом виконання якого є дерево варіантів, обхід якого дозволяє знайти рішення задачі. Але, як видно з прикладу, навіть для графів з мінімальним числом вершин, отримане дерево може бути достатньо громіздким, не кажучи про графи кількість верин яких перевищує число десять і більше. Таким чином, перебрний метод при знаходженні оптимального розв'язку задачі на розфарбування вершин графа вимагає великих обчислювальних затрат і, як правило, застосовується для графів, з достатньо малою кількістю вершин.

Використання алгоритму послідовної розмальовки для розв'язку задачі про розфарбування графа

Однак, якщо спростити розглядувану задачу і відмовитися від вимоги мінімальної кількості кольорів розмальовки графа, то можна побудувати алгоритми, які б працювали значно швидше, ніж алгоритм перебору варіантів. Зазначимо, що алгоритми, які швидко знаходять підходяще, але не оптимальне рішення, називаються евристичними. Прикладом раціонального евристичного алгоритму може слугувати алгоритм послідовної розмальовки графа, що базується на ідеї впорядкування вершин за будь-яким правилом (найчастіше зустрічаються приклади, де використовують степеня вершин) і послідовному присвоєнню їм кольорів, в які не були пофарбовані суміжні з ними вершини. Розглянемо даний алгоритм більш детально.

Далее

Перетворення чисел з двійкової системи числення в десяткову і навпаки (реалізація в середовищі Delphi)

Delphi-програма реалізує алгоритм перетворення чисел з двійкової системи числення в десяткову і навпаки. Для цього на головній формі містяться два компоненти типу TEdit, кожен з яких призначений для вводу та виводу чисел у відповідній системі числення.

Головне вікно delphi-проекту

Логіка роботи розглядуваної delphi-програми доволі проста і полягає у наступному: при зміні значень у будь-якому з двох рядків введення («Десяткове число», «Двійкове число») відразу ж повинні бути виконані обчислення числа в новій системі числення, а результати виведені у відповідному рядку TEdit.

Отже, Запустимо програму на виконання, введемо будь-яке десяткове чи двійкове число, і таким чином, перевіримо яким чином це працює.

Далее

Наступна сторінка »