Знаходження значення похідної функції в точці засобами delphi

Згідно з означенням, похідна функції в деякій точці називається границя відношення приросту функції до приросту її аргументу, при умові, що приріст аргумента прямує до нуля. Тобто алгоритм обчислення похідної згідно з таким означеннмя зводиться до послідовного обчислення значень функції в точках  та (де  — приріст аргументу, в якості значення для якого приймають як завгодно мале число). Після цього, скориставшись отриманими величинами, визначаємо значення приросту функції (). І на останньому кроці, обчисливши частку , отримуємо значення, яке і приймаємо в якості шуканого значення похідної .

Читати повністю

Обчислення наближеного значення похідної функції в точці

Похідна — це математичне поняття, яке широко використовується при розв'язку багатьох задач з математики, фізики та інших наук. Зокрема на даному сайті, нами було розглянуто велике коло чисельних методів, які використовуючи поняття похідної, реалізують процес наближеного розв'язку нелінійних рівнянь та відшукання найбільшого чи найменшого значень функції на заданому проміжку (відмітимо, що з даної групи методів, найбільш відомим являється метод Ньютона, який за скінченне число ітерацій, знаходить наближені значення коренів нелінійного рівняння).

Похідна функції в деякій точці характеризує швидкість зміни функції в цій точці. Оцінку швидкості зміни можна отримати, обчисливши відношення зміни функції до відповідної зміни аргументу . У визначенні похідної таке відношення розглядається за умови, що . Перейдемо до більш детального аналізу даного поняття.

Для цього, розглянемо деяку функцію , неперервну в околі точки і нехай  — приріст аргументу в точці . Позначимо через або приріст функції, який дорівнює . Відзначимо тут, що функція неперервна в точці , якщо в цій точці нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції .

Читати повністю

Розв'язок задачі дробово-лінійного програмування графічним методом в середовищі програмування delphi

Програма реалізує процес відшукання оптимального рішення задачі математичного програмування з дробово-лінійною цільовою функцією і використовує для цього алгоритм графічного методу. Як відомо, такий спосіб рішення задач математичного програмування користується великою популярністю в тому випадку, коли кількість невідомих задачі не перевищує число два. В іншому випадку, переходять до використання більш універсальних алгоритмів.

Отже, в загадьному вигляді, алгоритм відшукання рішення задачі дробово-лінійного програмування графічно, практично не відрізняється від алгоритму, який ми використовували при графічному розв'язку інших задач математичного програмування (задач лінійного чи нелінійного програмування). Тобто, на першому кроці, знаходять півплощини, що визначаються кожною з нерівностей системи обмежень задачі та з допомогою точок їх перетину будують область допустимих розв'язків (багатокутник розв'язків). Після цього, встановлюють в якій з точок даного багатокутника цільова функція приймає свого максимального чи мінімального значення.

Далі, виходячи з того, що основним завданням даного матеріалу є не детальний аналіз алгоритму графічного методу, (його можна знайти перейшовши за посиланням графічний метод рішення задачі дробово-лінійного програмування), а розгляд delphi-проекту що його реалізує, то зупинемося більш детально на розборі основних елементів його головної форми, після чого, приступимо до рішення конкретної задачі дробово-лінійного програмування.

Читати повністю

Знаходження розв'язку задачі дробово-лінійного програмування шляхом зведення її до задачі лінійного програмування

Нехай, зновутаки, розглядається задача математичного програмування, яка полягає у відшуканні екстремального (мінімального чи максимального) значення функції мети:

при наступних обмеженнях:

Крім того, передбачається, що в області невід'ємних розв'язків системи рівнянь (2) має місце нерівність .

Відмітимо, що розглядуваний тип задач відноситься до класу задач дробово-лінійного програмування і які ми вже навчилися розв'язувати з допомогою графічного методу. Проте, графічний спосіб рішення задач такого типу (як і будь-якого іншого типу задач математичного програмування) являється не дуже універсальним, тобто використовується в тому випадку, коли кількість невідомих задачі не перевищує число два. Сьогодні розглянемо дещо інший спосіб, який можна вважати більш універсальним, і який базується на зведенні задач з дробово-лінійною цільовою функцією до задачі лінійного програмування і, в подальшому, розв'язку її будь-яким з відомих методів (симплекс методу, двоїстий симплекс метод, метод штучного базису).

Читати повністю

Розв'язок системи лінійних рівнянь методом підстановки в середовищі програмування delphi

Delphi-проект «Розв'язок системи лінійних рівнянь методом підстановки» реалізує один із, такзваних, «шкільних способів» рішення лінійних систем.  Основна суть способу підстановки полягає в тому, що, спочатку, з одного рівняння системи виражається значення однієї із невідомих. Потіам, отриманий вираз підставляється замість цієї невідомої в друге рівняння. Таким чином, отримують рівняння з однією невідомою, яке легко розв'язується. Після цього, залишається лише підставити знайдене значення в одне з рівнянь і таким чином отримати шуканий розв'язок.

Робота даного проекту демонструється на прикладі, який ми розв'язували при розгляді теоретичної частини даного алгоритму. Відмітимо, що за бажанням з нею можна ознайомитись перейшовши за посиланням Знаходження розв'язку лінійних систем методом підстановки.

Головне вікно delphi-проекту практично не відрізняється від проектів, які реалізують інші чисельні методи рішення задач такого типу (Розв'язок однорідних систем в середовищі програмування delphi, Розв'язок СЛАР методом Крамера на delphi, Розв'язок СЛАР методом Жордана-Гаусса на delphi та інші), лише з однією відмінністю. Виходячи з того, що програма призначена для знаходження розв'язку двох лінійних рівнянь з двома невідомим, то розмірність матриці коефіцієнтів, а відповідно і стовпця вільних членів, задавати не потрібно.

Читати повністю

Розв'язок системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими методом підстановки

Знаходження розв'язку системи лінійних рівнянь, являється однією з найбільш важливіших задач лінійної алгебри. Відмітимо, що на даному сайті розглядається велика кількість точних та ітераційних чисельних методів (метод Крамера, метод Гаусса, метод простої ітерації та інші), рішення задач такого типу. Сьогодні, доповнимо її ще одним методом, який на відміну від розглянутих, являється менш універсальним, тобто вирішує системи малої розмірності, а саме системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими і називається методом підстановки.

Основна суть методу підстановки полягає в тому, що в одному з рівнянь системи (не важливо якому) одна невідома виражається через іншу. Після цього в друге рівняння системи, замість відповідної невідомої, підставляється вираз (отриманий на попередньому кроці), якому відповідає ця невідома. Розглянемо даний процес більш детально. Для цього припустимо, що нам необхідно знайти розв'язок система лінійних рівнянь виду:

Для того щоб розв'язати дану систему методом підстановки будемо слідувати простому алгоритму:

Читати повністю

Розв'язок задачі комівояжера методом Монте-Карло в середовищі програмування delphi

Delphi-програма реалізує статистичний алгоритм методу Монте-Карло, з допомогою якого здійснюється розв'язок задачі комівояжера (також відома як задача про бродячого торговця). Тобто, основна суть delphi-проекту зводиться до побудови маршруту таким чином, щоб комівояжер побував у кожному пункті по одному разу і повернувся у початковий. Відмітимо, що в якості критерію оптимальності може слугувати мінімальний час проводений в дорозі, мінімальні витрати на переміщення і, звичайно, мінімальна довжина шляху.

Отже, після запуску проекту, на екрані появиться форма наступного вигляду:

Головне вікно проекту "Розв'язок задачі комівояжера методом Монте-Карло"

Головне вікно проекту "Розв'язок задачі комівояжера методом Монте-Карло"

Тобто для того, щоб знайти розв'язок деякої задачі комівояжера (в нашому випадку розв'язується задача, яку ми розглядали при вивченні теоретичної частини методу Монте-Карло для рішення задач такого типу), від користувача вимагається задати кількість населених пунктів, в яких повинен побувати комівояжер, заповнити таблицю значеннями, які відповідатимуть одному з вищевказаних критеріїв оптимальності та натиснути кнопку "Знайти оптимальний маршрут".

Читати повністю

Наступна сторінка »