Інтерполяційна схема Ейткена

Нехай функція і розташування вузлів на відрізку інтерполяції такі, що інтерполяціний процес має збіжність. І нехай потрібно знайти не загальний вираз , а лише його значення при конкретних , тобто вирішується задача обчислення окремих наближених значень функції  за допомогою обчислення відповідних їм значень інтерполяційного многочлена Лагранжа . Розглянемо даний процес більш детально і побудуємо обчислювальну схему для отримання наближеного значення таблично заданої функції  в заданій точці , в основу якої буде покладена інтерполяція Лагранжа на сітці вузлів . Організація обчислень за цією схемою матиме ітераційний характер, кожен крок якої полягає в обчисленні деякого визначника другого порядку.

Нехай дано дві точки на кривій : і . Побудуємо функцію :

Тобто  збігається з інтерполяційним многочленом Лагранжа першої степені, побудованим за двома даними точкам. Побудуємо через визначник функцію для точок  та :

Читати повністю

Інтерполяція функції двох змінних в середовищі програмування delphi

Програма призначена для знаходження проміжних значень функції по заданому дискретному набору відомих значень, іншими словами, програма виконує інтерполяцію функції двох змінних, використовуючи для цього алгоритм, який здійснюється в два етапи, кожен з яких полягає у інтерполяції функції від однієї змінної (більш детальну інформацію по теоретичній частині даного алгоритму можна знайти за посиланням Інтерполяція функції двох змінних). Головне вікно розглядуваного delphi-проекту ділиться на три частини:

  1. Таблиця фіксованих значень функції (компонент класу TStringGrid - міститься в лівій частині форми).
  2. Області графічного представлення функції що інтерполюється (права частина форми).
  3. Панель інструментів — міститься в нижній частині форми і складається з наступних елементів: поле «Розмірність таблиці фіксованих значень» (компонент класу TSpinEdit призначений виключно для введення цілих чисел) яке відповідає за розмірність таблиці StringGrid; кнопка «Інтерполювати» (компонент класу TButton) основне призначення якої є відшукання проміжних значень функції та побудова її графіка; два компоненти типу TEdit та кнопки «Обчислити значення функції» (компонент типу TButton) — призначених для знаходження значення функції в заданій точці, координати якої задаються в текстових полях Edit.

Читати повністю

Обчислення подвійних інтегралів методом клітин

Розглянемо метод клітин на прикладі подвійного інтеграла. Відмітимо, що зробивши відповідні зміни, його можна поширити і на випадок інтегралів більшої кратності. Отже, нехай маємо інтеграл виду , де  — прямокутник, такий що .

З курсу математичного аналізу відома теорема про середнє. Якщо підінтегральна функція неперервна і інтегровна, то існує така точка , що, де площа прямокутника .

Якщо середнє значення функції замінити на значення функції в центрі прямокутника, то отримаємо наближену формулу:

Точність цієї формули можна підвищити, якщо область розбити на частини (на елементарні клітини) і до кожної з них застосувати формулу (1). Тобто якщо область інтегрування є прямокутник, то останню формулу перепишемо у наступному вигляді:

Читати повністю