Використання методу Лобачевського при знаходженні розв'язку алгебраїчних рівнянь в середовищі Delphi

Програма, написана в середовищі програмування delphi, і виконує наступні дії: знаходить корені алгебраїчного рівняння методом Лобачевського (для випадку дійсних коренів) і якщо таких коренів немає, видає на дисплей відповідне повідомлення.

На вході програма приймає степінь рівняння-многочлена, коефіцієнтит при невідомих (записуються в таблицю StringGrid) та точність розв'язку. Після цього, програма виконує процес квадрування з кількістю ітерацій рівною 10. Якщо при виконанні програми було отримано переповнення стеку занадто великим числом, то програма видає повідомлення про неможливість отримати розв'язок. Дане повідомлення можна також побачити при неможливості досягти заданої точності.

Інтерфейс проекту, який використовуючи метод Лобачевського знаходить корені алгебраїчного рівняння

Інтерфейс проекту, який використовуючи метод Лобачевського знаходить корені алгебраїчного рівняння

Читати повністю

Розв'язок алгебраїчних рівнянь методом Лобачевського з використанням прцесу квадрування

Нехай дано рівняння:

Метод Лобачевського

про корені якого відомо, що вони різними по абсолютній величині, тобто такзвана умова "набагато більше" (Метод Лобачевського) для них не виконується. Для таких випадків Лобачевським було запропоновано алгоритм, який базується на процесі квадрування. Тобто, якщо до рівняння (1), достатню кількість раз застосувати даний процес, то можна отримати нове рівняння, корені якого задовільняють умовіМетод Лобачевського. Таким чином ми зможемо знайти корені останнього рівняння, після чого і корені рівняння (1). Отже, давайте розглянемо в чому полягає алгоритм процесу квадрування. Для цього розкладемо рівняння (1) на на Метод Лобачевського лінійних множників:

Метод Лобачевського

Далі, запишемо рівняння, корені якого будуть протилежні за знаком до коренів рівняння (1). Таке рівняння буде мати наступний вигляд:

Читати повністю

Метод Лобачевського знаходження коренів алгебраїчних рівнянь з дійсними різними по абсолютній величині коренями

Основною перевагою методу Лобачевського є те, що він не вимагає інформацію про початкові наближення шуканих коренів. Він добре працює, якщо рівняння має тільки дійсні корені і не має коренів, які рівні або близькі по абсолютним величинам. Метод не є універсальним, оскільки є рівняння, для знаходження коренів яких він не застосовується і тому метод Лобачевського в основному застосовується для ручного підрахунку та знаходженні коренів з невеликою точністю.

Нехай дано рівняння виду Метод Лобачевського, про корені якого відомо, що всі вони дійсні і задовольняють умові Метод Лобачевського (де знак Метод Лобачевського означає набагато більше). Далі, скориставшись теоремою Вієта, запишемо флрмули, які описують зв’язок між коренями і коефіцієнтами рівняння (1):

Читати повністю

Відшукання власних значень матриці використовуючи метод Федєєва в середовищі програмування Delphi

Програма призначена для відшукання власних значень матриці використовуючи метод Федєєва. Даний метод являється модифікацією методу Левер'є і за рахунок певних спрощень при обчисленні коефіцієнтів характеристичного многочлена, вважається більш ефективним. Також слід відмітити, що  з допомогою методу Федєєва можна також визначити власні вектори та знайти обернену матрицю до заданої.

На вході програма приймає квадратну матрицю розмірності N×N. Після чого, використовуючи алгоритм методу Федєєва, відшукує коефіцієнти характеристичного многочлена і в подальшому, з допомогою методу хорд, знаходить корені характеристичного рівняння. Отриманий розв'язок і являтиметься шуканими власними значеннями заданої матриці.

Читати повністю

Програмна реалізація алгоритму методу Левер'є для знаходження власних значень матриці

Створений delphi-проект, в залежності від величин N (кількість рядків та стовпців), створює матрицю розміром N×N і призначена для знаходження власних значень для даної матриці (діапазон розмірності матриці змінюється від 2 до 5). В якості методу програма викристовує метод Левер'є. Алгоритм розкриття вікового визначника з допомогою даного методу доволі простий: в першу чергу здійснюється відшукання матриць Ak — степені матриці А і в подальшому знаходженні суми їх діагональних елементів (більш детальна інформація про даний методу містиься за посиланням Знаходження власних значень матриці за методом Левер'є).

Запустивши розглядуваний проект на виконання бачимо, що головне вікно програми ділиться на дві частини: робочої області (складається з поля «Розмірність матриці», таблиці StringGrid в комірках якої відображаються елементи матриці і кнопки «Знайти власні значення матриці») та поля виводу результатів (компонент Memo).

Читати повністю

Знаходження власних значень матриці використовуючи метод Фадєєва

Метод Фадєєва також відноситься до точних чисельних методів призначених для відшукання власних значень матриці і являється певною модифікацією методу Левер'є. Даний метод вважається більш ефективним, тому що крім спрощень при обчисленні коефіцієнтів характеристичного полінома він дозволяє визначити власні вектори та обернену матрицю до заданої.

Основна ідея методу Фадєєва полягає в тому, що замість послідовності Метод Федєєва, яку ми відшукували використовуючи алгоритм методу Левер'є, обчислюють послідовність Метод Федєєва, побудовану за наступними формулами:

Метод Фадєєва

де Метод Фадєєва — одинична матриця того ж самого порядку, що і матриця Метод Фадєєва; Метод Фадєєва сліди матриць Метод Федєєва відповідно.

Читати повністю

Знаходження власних значень матриці використовуючи метод Левер'є

Процес знаходження власних значень за методом Левер'є ділиться на два етапи: розкриття характеристичного многочлена та знаходження його коренів. Розглянемо дані етапи більш детально. Для цього, розглянемо матрицю metod_laverre2, для якої запишемо характеристичний многочлен у наступному вигляді:

metod_laverre14

де Метод Леверр'є корені даного многочлена. Розкладемо многочлен (1) на лінійні множники. В результаті отримаємо:

metod_laverre15

Перемноживши вирази, які містяться в правій частині (2) та звівши подібні члени, після чого прирівнявши їх з відповідними коефіцієнтами з (1), отримаємо формули, які виражають коефіцієнти характеристичного мнгочлена через його корені:

metod_laverre31

де metod_laverre17 - елементарні симетричні функції коренів характеристичного многочлена.

Читати повністю